合理抽象&灵活运用排列组合（洛谷P2181题题解）

题目要求

P2181题目链接

分析

其实，本题是一个数学题。。。

首先由题意得，不会有三条对角线交于一点，所以过某一个交点有且只能有２条对角线。
而这两条对角线实质上是确定了４个顶点（也可以看做是一个四边形的两条对角线交于一点，求四边形的数量），因此我们只需要确定４个顶点就得到了这个唯一确定的交点。

因此我们只需要求这样４个顶点的组合有多少个，即从ｎ个顶点中取４个出来的组合数。

此时，这个问题变成了排列组合问题。。。

根据组合数的公式，得：

于是我们就得到了我们解题的核心算法（公式咯）： n * (n-1) * (n-2) * (n-3) / 24
但我们这么处理，由于连乘再除，要考虑溢出和精度，所以我们可以化简。

原式可以化为:
n * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * (n-3) / 4

那为什么这样一定是对的呢？难道不会因为除不尽却向下取整而导致错误吗？

事实上是一定除得尽的：

首先n和n-1一定有一个是２的倍数，因此２可以除尽。
同理n,n-1,n-2中一定有一个是３的倍数，因此３可以除尽（除掉２只会消除因数２而对３没有影响）
再同理，４也可以除尽。

坑点

还是这个数值类型的选择问题。。
你选int还觉得没问题，一看很和谐，一跑就WA。。。

但换成long才能看出问题：

显然只能用BigInteger。。。

为啥懒得用BigIntegeer呢，看我AC代码就知道了，何等的麻烦以及慢…………能不用就别用，但是连乘可以用这个东西保命一下。。

AC代码（Java语言描述）

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        BigInteger number = scanner.nextBigInteger();
        scanner.close();
        BigInteger num1 = new BigInteger("1");
        BigInteger num2 = new BigInteger("2");
        BigInteger num3 = new BigInteger("3");
        BigInteger num4 = new BigInteger("4");
        number = number.multiply(number.subtract(num1)).divide(num2).multiply(number.subtract(num2)).divide(num3)
                .multiply(number.subtract(num3)).divide(num4);
        System.out.println(number);
    }
}

看看，这个公式，每一次都有“.”，麻烦得很。。。