洛谷P1641 [SCOI2010]生成字符串（排列组合+逆元）

原文链接

https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p1641

题目链接

https://www.luogu.org/problem/P1641

题目描述

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

输入格式

输入数据是一行，包括2个数字n和m

输出格式

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

输入输出样例

输入 #1

2 2

输出 #1

2

说明/提示

limitation

每点2秒

对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000

对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

来源：SCOI 2010

题解

可以考虑把11的个数与00的个数的和看成xx坐标，11的个数与00的个数的差看成yy坐标，那么如下图：

向右上走（xx坐标加11，yy坐标加11）就表示这个字符选择11。

向右下走（xx坐标加11，yy坐标减11）就表示这个字符选择00。

这样子，如果不考虑限制条件，就表示从(0,0)(0,0)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m)，这相当于从n+mn+m步中选出mm步向右下走，也就是C(n+m,m)C(n+m,m)。

考虑限制条件，任意前缀中11的个数不少于00的个数，也就是这条路径不能经过直线y=-1y=−1。可以通过对称性发现，从(0,0)(0,0)走到直线y=-1y=−1上的一点，相当于从(0,-2)(0,−2)走到该点。也就是说，路径经过直线y=-1y=−1的方案数就是从(0,-2)(0,−2)走n+mn+m步到达(n+m,n-m)(n+m,n−m)，这个方案数可以用组合数表示为C(n+m,m-1)C(n+m,m−1)。

所以最后结果为C(n+m,m)-C(n+m,m-1)C(n+m,m)−C(n+m,m−1)。对于组合数，可以预处理阶乘后用乘法逆元计算。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=20100403;

ll ni[maxn*2],n,m;
void init(){
	ll i;
	memset(ni,0,sizeof(ni));
	ni[1]=1;
	for(i=2;i<n+m+1;i++)ni[i]=-ni[mod%i]*(mod/i)%mod+mod;
}
 
int main(){
	ll i,a1,a2;
	cin>>n>>m;
	init();
	a1=1;
	for(i=1;i<=n+m;i++){
		a1*=i;
		a1%=mod;
	}
	
	for(i=1;i<=n;i++){
		a1*=ni[i];
		a1%=mod;
	}
	
	for(i=1;i<=m;i++){
		a1*=ni[i];
		a1%=mod;
	}
	
	a2=a1;
	a2=((a2*ni[n+1])%mod*m)%mod;
	cout<<(a1-a2+mod)%mod;
	return 0;
}