P2181 刷题记录

傳統藝能：題面地址
剛開始感覺這題滿簡單的，應該能寫O(1)的算法，然而定睛一看題目感覺臉都腫了……
先說一下我寫這道題的思路吧，凸多邊形對角線交點數量參考了沈文德老師的論文[1]，發覺是一個排列組合問題，以我初中數學的知識顯然無法求解。求一個n個頂點的凸多邊形的對角線交點，採用公式\(C(n-4, n)\)求解。
百度得\(C(r, n)=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)，遞歸一下套下公式，應該沒問題的……
代碼如下（C）:

#include <stdio.h>

int factorial(int n) {
    int result;
    if(n == 0 || n == 1) return 1;
    else {
        result = factorial(n);
        return result;
    }
}

int C(int n){
    int r = n - 4;
    int up = factorial(n);
    int down = factorial(r) * factorial(n-r);
    int result = up / down;
    return result;
}

// C(r, n) = n!/[r!(n-r)!]
// C(n-4, n)

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int result = C(n);
    printf("%d", result);

    return 0;
}

但是，你以爲這就完了嗎？
不，並沒有。很顯然這個算法的時間複雜度是難以想象的大，在\(n=3\)時就已經爆炸了，不用說\(n\leq10^5\)的情況了。於是厚顏無恥的看了題解，果然，O(1)的算法是存在的，佢佢還是佢佢。
大佬通過排列組合的技巧推得了關於n的公式，\(\frac{n (n-1)}{{2 (n-2)}\div{3(n-3)}\div4}\)。然後就不需要階乘了，直接輸出就好了。果然我就是菜啊:-)。
優化後的代碼如下：

#include <stdio.h>

unsigned long long n, ans;

int main() {
    scanf("%lld", &n);
    ans = n * (n - 1) / 2 * (n - 2) / 3 * (n - 3) / 4;
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

最後放上兩種方法的測試結果（慘）：

參考文獻：
[1] 一个计算凸多边形对角线交点的方法[J]沈文德.蘇州教育學院學報.1996
[2] ww3113306 P2181題解 包括公式推導過程