【数论】线性筛&积性函数

线性筛

线性筛素数

#define MAXN 1000000
int prim[MAXN],vis[MAXN],c;
void Solve()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!vis[i])
            prim[c++]=i;
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)
                break;
        }
    }
}

一些理解：
1.一个合数$A=p_1^{k_1}p_2^{k_2}$$\ldots$$p_c^{k_c}$$(p_1<p_2<$$\ldots$$<p_c)$被筛出来时，$prim[j]=p_1$;
2.当满足 if ($i$%$prim[j]== 0$) break 时，合数 $i*prim[j]$ 还没有被筛出来。
当$i_1=\frac{i}{prim[j]}*prim[j+1]$,内层循环枚举到$prim[j]$时，才会被筛出。

积性函数

欧拉函数

$\phi(n)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*\ldots*(1-\frac{1}{p_k})$
即小于等于x并且和x互质的数的个数

性质

1:（积性函数）$\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$,其中gcd(a,b)=1;
2:$\sum_{d|n}\phi(d)=n$
3:小于$n$且与$n$互质的数的和：$sum=\frac{n\phi(n)}{2}$
证明：显然,若$m$与$n$互质，则$(n-m)$与$n$互质（由辗转相除法可知）
当$n> 2$时，$\phi(n)$为偶数，也就是说$m$与$n-m$成对出现，有$\frac{\phi(n)}{2}$对，此时$sum=\frac{n\phi(n)}{2}$
当$n\leq 2$时，该式成立。

线性筛欧拉函数

int phi[MAXN],prim[MAXN],c;
void Solve()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!phi[i])
        {
            prim[c++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            if(i%prim[j]==0)
            {
                phi[i*prim[j]]=prim[j]*phi[i];
                break;
            }
            phi[i*prim[j]]=(prim[j]-1)*phi[i];
        }
    }
}

补充：当我们只需要求某一个数的$\phi(n),n\leq 10^{12}$,可用以下筛法

要预处理出$10^6$以内素数。
时间复杂度：O($\sqrt n$)

LL Solve(LL n)
{
    LL ret=n;
    for(int i=0;i<tot&&prim[i]<=n;i++)
        if(n%prim[i]==0)
        {
            ret=ret/prim[i]*(prim[i]-1);
            while(n%prim[i]==0) n/=prim[i];
        }
    if(n!=0) ret=ret/n*(n-1);
    return ret;
}

莫比乌斯函数

$\mu$(1)=1
$\mu$(d)=$(-1)^k$,$d=p1p2p3$$\ldots$$pk$,其中 p 为素数
$\mu$(d)=0,其他

性质

1:（积性函数）$\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)$,其中gcd(a,b)=1;
2:$\sum_{d|n}\mu(d)=0,(n>1)$
3:$\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}$

线性筛莫比乌斯函数

#define MAXN 1000000
int mu[MAXN],prim[MAXN],vis[MAXN],c;
void Solve()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(vis[i]==0)
        {
            prim[c++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                mu[i*prim[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯反演

形式一：
$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$
形式二：
$F(n)=\sum_{n|d}f(d)$
$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)$
一些问题 bzoj 3930 选数
1.求$\sum_1^a\sum_1^b[gcd(x,y)=1]$
令$f(i)=\sum[gcd(x,y)=i]$，$F(i)=\sum[i|gcd(x,y)]$
$F(i)=[\frac{a}{i}][\frac{b}{i}]=\sum_{i|d}f(d)$
$f(i)=\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})F(d)$

逆元函数

模数为m：
$a*inv[a]\equiv1$
$inv[a]=a^{phi[m]-1}$

性质

1.（完全积性函数，不需要(a,b)=1）在模素数p的意义下：
$inv[a*b]=inv[a]*inv[b]$
证明
在模素数p的意义下：
$a*inv[a]\equiv1,b*inv[b]\equiv1 \Rightarrow a*b*inv[a]*inv[b]\equiv 1$
$\Rightarrow inv[a*b]=inv[a]*inv[b]$

线性筛逆元函数

Solution1:(P为素数)

int inv[MAXN],prim[MAXN],c,P;
void Solve()
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(inv[i]==0)
        {
            prim[c++]=i;
            inv[i]=PowMod(i,P-2);
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            inv[i*prim[j]]=inv[i]*inv[prim[j]];
            if(i%prim[j]==0)
                break;
        }
    }
}

Solution2:(P为素数)

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void Solve()
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<P;i++)
        inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
}

证明：
$inv[1]=1$
假设当前已经求出$inv[1],inv[2],\ldots,inv[k-1]$,当前要求$inv[k]$.
$\because P=[\frac{P}{k}]*k+$P%k;
令 a=P%k ,有 $a=P-[\frac{P}{k}]*k$;
又$\because inv[a]*a\equiv inv[a]*(P-[\frac{P}{k}]*k)\equiv inv[a]*(-[\frac{P}{k}]*k)\equiv1$
$\therefore inv[k]=inv[a]*(-[\frac{P}{k}])$

补充：求阶乘的逆元

void Solve()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;
    inv[n]=PowMod(fac[n],P-2);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        inv[i]=1LL*(i+1)*inv[i+1]%P; 
}

线性筛$gcd(a,b),b$为定值

令$g[i]=gcd(i,b),ek[i]=p_1^{k_1}$，其中，$i=p_1^{k_1}p_2^{k_2}$$\ldots$$p_m^{k_m}$$(p_1<p_2<$$\ldots$$<p_m)$

int g[MAXN],ek[MAXN],prim[MAXN],c,P,b;
void Solve()
{
    g[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(g[i]==0)
        {
            prim[c++]=i;
            g[i]=max((b%i==0)*i,1);
            ek[i]=i;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            if(i%prim[j]==0)
            {
                ek[i*prim[j]]=ek[i]*ek[prim[j]];
                if(b%(ek[i]*prim[j])==0) g[i*prim[j]]=g[i]*prim[j];
                else g[i*prim[j]]=g[i];
                break;
            }
            ek[i*prim[j]]=prim[j];
            g[i*prim[j]]=g[i]*g[prim[j]];
        }
    }
}

$n$的正因子数目$d(n)$

$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}$$\ldots$$p_c^{k_c}$$(p_1<p_2<$$\ldots$$<p_c)$
$d(n)=\prod_{i=1}^c (k_i+1)$
记$e(n)=k_1$

性质

1.(积性函数)
$d(a*b)=d(a)*d(b)$,其中$gcd(a,b)=1$

线性筛$d(n)$

int d[MAXN],e[MAXN],prim[MAXN],c;
void Solve()
{
    g[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(d[i]==0)
        {
            prim[c++]=i;
            d[i]=2;
            e[i]=1;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            if(i%prim[j]==0)
            {
                d[i*prim[j]]=d[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                e[i*prim[j]]=e[i]+1;
                break;
            }
            d[i*prim[j]]=d[i]*d[prim[j]];
            e[i*prim[j]]=1;
        }
    }
}

$n$的正因子之和$s(n)$

$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}$$\ldots$$p_c^{k_c}$$(p_1<p_2<$$\ldots$$<p_c)$
$s(n)=\prod_{i=1}^c (\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j)$

性质

1.(积性函数)
$s(a*b)=s(a)*s(b)$,其中$gcd(a,b)=1$

线性筛$s(n)$

Solution1:
令$n=i*prim[j]$,当$prim[j]$是$i$的最小质因子时：
$s(n)=(\prod_{i=2}^c(\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j))*(\sum_{j=0}^{k_1+1}p_1^j)=s(i)*\frac{\sum_{j=0}^{k_1+1}p_1^j}{\sum_{j=0}^{k_1}p_1^j}=s(i)*\frac{p_1^{k1+2}-1}{p_1^{k1+1}-1}$
记$pe(i)=p_1^{k_1+1},pe(n)=p_1^{k_1+2}$
则$s(n)=s(i)*\frac{pe(n)-1}{pe(i)-1}$

LL s[MAXN],pe[MAXN];
int prim[MAXN],c;
void Solve()
{
    s[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(!s[i])
        {
            prim[c++]=i;
            s[i]=i+1;
            pe[i]=i*i;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            if(i%prim[j]==0)
            {
                pe[i*prim[j]]=pe[i]*prim[j];
                s[i*prim[j]]=s[i]/(pe[i]-1)*(pe[i*prim[j]]-1)
                break;
            }
            s[i*prim[j]]=s[i]*s[prim[j]];
            pe[i*prim[j]]=pe[prim[j]];
        }
    }
}

Solution 2:
令$n=i*prim[j]$,当$prim[j]$是$i$的最小质因子时:
$s(n)=(\prod_{i=2}^c(\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j))*(\sum_{j=0}^{k_1+1}p_1^j)$
$=(\prod_{i=2}^c(\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j))*(\sum_{j=1}^{k_1+1}p_1^j+\sum_{j=0}^{k_1}p_1^j-\sum_{j=1}^{k_1}p_1^j)$
$=(\prod_{i=2}^c(\sum_{j=0}^{k_i}p_i^j))*(p_1*\sum_{j=0}^{k_1}p_1^j+\sum_{j=0}^{k_1}p_1^j-p_1*\sum_{j=0}^{k_1-1}p_1^j)$
$=s(i)*(p_1+1)-s(\frac{i}{p_1})*p_1$

LL s[MAXN];
int prim[MAXN],c;
void Solve()
{
    s[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
    {
        if(s[i]==0)
        {
            prim[c++]=i;
            s[i]=i+1;
        }
        for(int j=0;1LL*prim[j]*i<MAXN;j++)
        {
            if(i%prim[j]==0)
            {
                s[i*prim[j]]=s[i]*(prim[j]+1)-s[i/prim[j]]*prim[j];
                break;
            }
            s[i*prim[j]]=s[i]*s[prim[j]];
        }
    }
}

补充题目

模板题
CQOI 3512 筛法求素数表
CQOI 3515 乘法逆元表
CQOI 2710 欧拉函数的值
POJ 2478 Farey Sequence
51Nod 1240 莫比乌斯函数
模板变式
HDU 3501 Calculation：利用欧拉函数性质3
POJ 3090 Visible Lattice Points
HDU 5317 RGCDQ