Burnside引理与Pólya计数

前置知识

1.群
2.置换
3.置换群

问题背景

求解等价染色问题。（本质相同）
比如用k种颜色给一个2*2的方格染色，并认为旋转后相同的方案是本质相同的。 求有多少本质不同的方案。

Burnside引理

上面的问题也就是在求等价类个数了。
这个问题中，置换群就是恒等置换，转90，转180，转270。
先给出式子，将在后面证明。
$等价类个数 = \frac {\sum C(f)} {|G|}$
其中C(f)为对于置换f，满足 $c \cdot f = c$的着色方案（也简称着色，将置换f作用在c上）c个数（不动点个数）。
$|G|$ 为置换群的大小（阶）。

证明

定义 $G(c)$为着色c的稳定核，是置换群的子集。其中的置换f满足 $c \cdot f = c$

由定义我们有
$\sum C(f) = \sum G(c)$

即总的不动着色 - 置换 $(c, f)$对数相等。

现在我们通过改变右式来证明burnside定理。
考虑稳定核大小与等价类个数的关系，在稳定核 $G(c)$中置换f,g必定满足 $c \cdot f = c \cdot g = c$

联系群的运算性质，对于任意的f,g，若 $c \cdot f = c \cdot g$
那么这样的g实际上是 $h \cdot f，h \in G(c)$. （这可以通过左右同乘 $f^{-1}$得到。）

这说明，对于任意着色c与置换f，满足上式的g实际上有 $|G(c)|$个（当然也包含f自己，左右同乘恒等置换就是）。再进一步推理， $c \cdot f$的不同结果应有 $\frac {|G|} {|G(c)|}$个，换而言之，c所在等价类的大小便是上式。

那么就能得出下面的式子
$|G(c)| = \frac {|G|} {S_c}$，Sc是c所在等价类大小。

将式子带回原式右侧，便有 $\sum C(f) = |G|\sum \frac {1} {S_c}$

很显然，右边便是 $|G| * 等价类个数$，这便是burnside定理了。

Polya计数

其实这个是burnside的进一步结论。

发现对于burnside来说，主要任务便是找置换群与求不动点个数。

polya便利用了一个求不动点的简单结论。
对于一个置换f，若他能被写为k个不相交循环，那么 $|C(f)| = a^k$，其中a是颜色数目。

这个结论感性理解即可，即每一循环都染上相同的颜色，这样在置换后才能不变。

与burnside写在一起，是 $等价类个数 = \frac {\sum a^{m(f)}} {|G|}$
m(f)是不相交循环个数。