信号与系统公式笔记（5）

重点内容
1.狄利克雷条件
2.Gibbs现象
3.傅里叶变换和傅里叶逆变换公式

周期矩形脉冲信号

信号波形

对这个矩形脉冲信号进行积分就可以求到它对应的傅里叶系数
积分求傅里叶系数
了解一下记得结果就可以了。
补充： $Sa(n\omega_1 \frac{\tau}{2})$ 是离散的，只是包络线看起来像是下面这样。
抽样信号
实际上像下面这样
实际上的波形

有这些性质要注意：
1.第一个零点坐标： $\frac{2\pi}{\tau}$ （令 $\frac{\omega \tau}{2} = \pi \rightarrow \omega = \frac{2\pi}{\tau}$ ）
2. $F(n\omega_1)$ 是复函数，幅度/相位
$F_n > 0$ ，相位为0， $F_n < 0$ ，相位为 $\pm \pi$ 。（我是直接想象成一种类似复指数的那种图形，在负数的时候复指数的初相就相当于在 $\pm \pi$ 的位置）

取样信号的零点坐标只与脉冲函数的持续时间有关，而与脉冲函数的周期无关。

上面图里面的两条谱线之间的距离是 $\omega_1 = \frac{2\pi}{T}$ ，如果 $T$ 趋于无穷大，信号会变成非周期信号，那么两条谱线之间的距离会变成无穷小，所以非周期信号的傅里叶谱线会直接变成连续的曲数，而不是像现在这样的离散的曲数。

上图函数的特点：

因为都比较好理解所以直接截图了，懒得特别去记。
补充：上面的 $\frac{E\tau}{T_1}$ 其实就是上上图的谱线的幅度。

频带宽度
定义：在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，这段频率范围就是频带宽度。
一般用第一个零点作为频带宽度（因为这里集中了信号的大部分能量），记为： $B_\omega = \frac{2\pi}{\tau}$ （其实就是第一个零点的坐标）或 $B_f = \frac{1}{\tau}$ （其实就是除了个 $2\pi$ ），带宽与脉宽（ $\tau$ ）成反比（脉宽太短，那么带宽就会越大，所以通信速率不能无限提高，而要保证信号不失真，就要保证系统的通频带 $>$ 信号的带宽，有点类似模电里面的放大电路）。

周期信号必须要满足一定的（两组）条件才能够表示成傅里叶级数。
首先是平方可积条件：
如果 $\int_{T_0}|x(t)|^2\mathrm{d}t < \infty$ 则 $a_k$ 必存在。因为 $\mathrm{Q}x(t)$ ，所以一定存在。（其实证明下面的绝对可积就可以了，因为绝对可积要求更加苛刻）

然后主要是狄利克雷条件：
1. $\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t < \infty$ ，在任何周期内信号绝对可积（比平方可积条件更加苛刻，所以只要证明绝对可积就可以了）。
因为

| a_{k} | \leq \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}} | x (t) e^{- j k ω_{0} t} | d t = \frac{1}{T_{0}} \int_{T_{0}} | x (t) | d t < \infty

$|a_k| \leq \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_0 t}|\mathrm{d}t = \frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t < \infty$
这样就可以保证

a_{k}

$a_k$ 存在（这个条件往往最苛刻，因为

e^{a t} 在

$e^{at}在$ a > 0$的时候会直接趋于无穷，很多常见信号直接就不能做傅里叶变换了。这个条件存在而让可以用傅里叶变换的地方大大减少）

2.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值
例如下面这两个信号就不能傅里叶变换
不能傅里叶变换的信号

3.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点（就是可去间断点）

Gibbs现象
当满足狄利克雷条件的信号 $x(t)$ ，当傅里叶级数逼近间断点的时候，如何收敛于 $x(t)$ ？

在间断点处的跳变值约等于跳跃间断点的值的 $0.9$ （且跳变值不会因为取得项越多而减少，而是趋于前面那样算出来的值）。
Gibbs现象

在实际应用中，只会用傅里叶级数的N个项，所以会出现误差（ $e_N(t) = x(t) - x_N(t)$ ），然后就可以得出均方误差（下面这个图，了解就可以了）。

在均方误差最小的准则下，傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。

傅里叶级数到傅里叶变换
周期 $T_0$ 增大时，频谱的幅度会下降，而谱线间隔减小（看上面周期矩形脉冲信号对应的频谱图就知道了），但是包络不变。
谱线变化
然后是为什么 $T \rightarrow \infty$ 时频谱会变成连续的：

不用强记，理解就行
上面的推导过程补充：
因为 $a_k$ 在 $T_0 \rightarrow \infty$ 时会直接变成无穷大，所以要乘 $T_0$ 变成 $a_kT_0$ 来考虑。

继续推导出傅里叶变换和傅里叶逆变换
推出傅里叶变换
推出傅里叶逆变换
记不住推导公式没关系，重要的是记住这两个公式：

傅 里 叶 变 换 X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t 傅 里 叶 逆 变 换 x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) e^{j ω t} d ω

$\mathrm{傅里叶变换}\quad X(\mathrm{j}\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}x(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}t\\ \mathrm{傅里叶逆变换}\quad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\mathrm{j}\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm{d}\omega$

傅里叶变换用来把信号从时域转到频域，而傅里叶逆变换就是直接反过来把频域转到时域。

上面的东西实在记不住只要记住 $X(\mathrm{j}\omega)$ 是频谱密度函数和那几个公式就行了额，其他的不用管。

一个结论：周期信号的频谱是对应的非周期信号频谱的样本；而非周期信号的频谱是对应的周期信号频谱的包络（还是那个矩形脉冲信号当例子，周期信号的例子就是还是上面那样，非周期信号的例子就是对应的 $T\rightarrow \infty$ 时的例子）。

傅里叶变化你的收敛

傅里叶变换的收敛条件和傅里叶级数的收敛条件一样，要两组条件：
1.若 $\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\mathrm{d}t < \infty$ 则 $X(\mathrm{j}\omega)$ 存在，所以所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在（就是能量信号都有傅里叶变换）。
2.狄利克雷条件
a. $\int_{T_0}|x(t)|\mathrm{d}t < \infty$ ，在任何周期内信号绝对可积（比平方可积条件更加苛刻，所以还是只要证明绝对可积就可以了）。