信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (1) 信号简介 Intro

• 1. Introduction
  • 1.1. 周期信号
    • 1.1.1. 连续信号周期
    • 1.1.2. 离散信号周期
    • 1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图
  • 1.2. 信号分类
    • 1.2.1. 能量信号
    • 1.2.2. 功率信号
    • 1.2.3. 因果信号
    • 1.2.4. 反因果信号
    • 1.2.5. 其他类型
    • 1.2.6. Remark
  • 1.3. 冲激函数
    • 1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function
    • 1.3.2. 阶跃函数
    • 1.3.3. 广义函数定义
    • 1.3.4. 取样性质
    • 1.3.5. 导数
    • 1.3.6. 尺度变化
  • 1.4. LTI 连续系统
    • 1.4.1. 微分方程的经典解法
    • 1.4.2. 初始值
    • 1.4.3. 响应
    • 1.4.4. Python 求解系统的响应
    • 1.4.5. 冲激响应
    • 1.4.6. 阶跃响应
    • 1.4.7. Python 冲激响应与阶跃响应
    • 1.4.8. 卷积积分 Convolution
    • 1.4.9. Python 求卷积积分
    • 1.4.10. 连续系统的算子 P
  • 1.5. 差分方程
    • 1.5.1. 定义
    • 1.5.2. 经典解法
    • 1.5.3. 初始值
    • 1.5.4. 响应
    • 1.5.5. Python 求解离散系统的零状态响应
    • 1.5.6. 单位脉冲序列
    • 1.5.7. 单位阶跃序列
    • 1.5.8. 单位脉冲响应
    • 1.5.9. 单位阶跃响应
    • 1.5.10. Python 求解单位脉冲响应
    • 1.5.11. 卷积和
    • 1.5.12. Python 求卷积和
    • 1.5.13. 差分算子 E
• 信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier

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1. Introduction

1.1. 周期信号

• Period Signal

1.1.1. 连续信号周期

• 连续周期信号 $f(t)$, 周期为 $T$, 满足
  $f(t) = f(t + mT), \ m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$
  • 典型周期连续信号: 余弦信号 $\cos \omega t$ 周期为 $T = \frac{2\pi}{\omega}(s)$

1.1.2. 离散信号周期

• 离散周期信号 $f(k)$, 周期为 $N$, 满足
  $f(k) = f(k +mN), \ m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

1.1.3. 信号的 Python 表示与绘图

• 连续信号 $f(t) = 5 e^{-0.8t} \sin(\pi t), \, 0<t<5$ 绘图

    # 导入 需要的 library 库  
    import numpy as np # 科学计算
    import matplotlib.pyplot as plt # 画图
    import scipy.signal as sg # 导入 scipy 的 signal 库 命名为 sg

    a,b = 0.8,5
    t = np.linspace(0,5,100) # 另一种表达式 t = np.mgrid[0:5:0.01]
    y = b*np.exp(-a*t)*np.sin(np.pi*t)
    plt.xlabel('time')
    plt.ylabel('Y')
    plt.plot(t,y)
    plt.grid(True)
    plt.show()

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1.2. 信号分类

• 将信号 $f(t)$ 施加于 $1 \Omega$ 电阻上， 所消耗的瞬时功率为 $\lvert f(t) \rvert ^2$, 在区间 $( -\infty, \infty)$ 的能量和平均功率定义为
  $E \overset{def}{=} \int_{-\infty}^\infty \lvert f(t) \rvert ^2 dt$
  $P \overset{def}{=} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \lvert f(t) \rvert ^2 dt$

1.2.1. 能量信号

• 能量有限信号: 信号的能量 $E < \infty$ , 简称 能量信号 , 此时 $P = 0$.
  • 离散: $E = \displaystyle\sum_{k=-\infty}^{\infty} \lvert f(k) \rvert ^2 < \infty$

1.2.2. 功率信号

• 功率有限信号: 信号的功率 $P < \infty$ , 简称 功率信号 , 此时 $E = \infty$.
  • 离散: $P = \displaystyle \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{k=-N/2}^{N/2} \lvert f(k) \rvert ^2 < \infty$

1.2.3. 因果信号

• 因果信号: $t <0, \ f(t) = 0$ 的信号
  • 例如: 阶跃信号

1.2.4. 反因果信号

• 反因果信号: $t \leq 0, \ f(t) = 0$ 的信号

1.2.5. 其他类型

• 一维信号， 多维信号； 实信号，复信号； 左信号， 右信号。。。。。。

1.2.6. Remark

1. 时限信号为能量信号
2. 周期信号为功率信号
3. 非周期信号 可能为能量也可能为功率信号
4. $f(t) = e^t$ 既不是能量也不是功率信号

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1.3. 冲激函数

$\begin{aligned} \delta (x) \overset{def}{=} {\begin{cases} 0 , & x\neq 0 \\ 1 , & x = 0 \end{cases}} \end{aligned}$

1.3.1. 单位冲激函数 Dirac delta function

• 单位冲激函数: 奇异函数, 强度极大, 作用时间极短的物理量的理想化模型
  $\begin{aligned} {\begin{cases} \delta (x) = 0 , & x\neq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1 \end{cases}} \end{aligned}$
  • aka Dirac delta function
  • 高度无穷大, 宽度无穷小, 面积为 1 的对称窄脉冲

1.3.2. 阶跃函数

• 阶跃函数:
  $\varepsilon(t) \overset{def}{=} {\begin{cases} 0, & t<0 \\ 1, & t>0 \end{cases}}$
  • 积分: $\int_{-\infty}^{t} \varepsilon(\tau)d\tau = t \cdot \varepsilon(t)$
  • 与 冲激函数 关联:
    • $\delta(t) = \frac{d \varepsilon(t)}{dt}$
    • $\varepsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau$

1.3.3. 广义函数定义

• Dirac Delta function 广义函数定义:
  $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \varphi(t)dt = \varphi(0)$
  • 冲激函数 $\delta (t)$ 作用于检验函数 $\varphi (t)$ 的结果是赋值为 $\varphi (0)$, 称为 冲激函数的取样性质。
  • 例如:
    • 高斯函数 $\delta(t) = \lim_{b\to \infty} b e^{-\pi(b\cdot t)^2}$
    • 取样函数 $\delta(t) = \lim_{b\to \infty} \frac{\sin(bt)}{\pi t}$

1.3.4. 取样性质

• Dirac Delta function 取样性质:
  $f(t) \delta(t-a) = f(a) \delta(t-a) \longrightarrow f(t) \delta(t) = f(0) \delta(t)$
  $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-a) dt = f(a) \longrightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) dt = f(0)$
  • Notice: 积分区间要包含 $t=a$

1.3.5. 导数

• Dirac Delta function 导数:
  • 冲激偶 $\delta^\prime (t)$:
    $f(t) \delta^\prime (t) = f(0)\delta^\prime(t) - f^\prime(0)\delta(t)$
    $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^\prime(t) dt = - f^\prime(0)$
    $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^\prime(t-a) dt = - f^\prime(a)$
    $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) dt = (-1)^nf^{(n)}(0)$

1.3.6. 尺度变化

• Dirac Delta function 尺度变化:
  $\delta(at) = \frac{1}{\lvert a \rvert} \delta(t)$
  $\delta^{(n)} (at) = \frac{1}{\lvert a \rvert} \frac{1}{a^n} \delta^{(n)}(t)$

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1.4. LTI 连续系统

$f(t) \to \text{LTI (linear time-invariant systems)} \to y(t)$

1.4.1. 微分方程的经典解法

$y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t)+\dots + a_1y^{(1)}(t) + a_0y(t) \\ = b_mf^{(m)}(t)+b_{m-1}f^{(m-1)}(t) + \dots + b_1f^{(1)}(t) +b_0f(t)$

• 经典解法: $y(t) = y_h(t) + y_p(t)$

  • $y(t)$ 完全解
  • $y_h(t)$ 齐次解 homogeneous solution
  • $y_p(t)$ 特解

• 特征根: eigenvalue 特征值
  $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_0 = 0\, \to\, \lambda_i(i=1,2,\dots, n)$

1.4.2. 初始值

• 初始值: 是n阶系统在 $t=0$ 时接入激励, 其响应在 $t=0_+$ 时刻的值, 即 $y^{(j)}(0_+) \, (j=0,1,2,\dots,{n-1})$

• 初始状态: 是系统在激励尚未接入的 $t=0_-$ 时刻的响应值 $y^{(j)}(0_-)$, 该值反映了系统的历史情况，且与激励无关。

1.4.3. 响应

$y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$

• 零输入响应: $y_{zi}(t)$ (zero input)

• 零状态响应: $y_{zs}(t)$ (zero status)

  • $y_{zs}(0_-) = 0 \longrightarrow y_{zi}(0_+)=y_{zi}(0_-)=y(0_-)$

• 响应分类:

  • 固有响应：系统固有频率 或叫自由响应
  • 强迫响应：与激励函数有关
  • 暂态响应：随时间增长而消失
  • 稳态响应：通常为阶跃函数和周期

1.4.4. Python 求解系统的响应

• 系统的微分方程为
  $77 y{\left(t \right)} + 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = f(t)$
  • 在 $t\geq0$ 时，接入激励 $f(t)=10\sin(2\pi t)$, 求零状态响应
  • 可得 $y^{\prime\prime}{\left(t \right)} = - 77 y{\left(t \right)} - 2 y^{\prime}{\left(t \right)} + f(t) , \, t\geq0$

    # 使用方程解  
    from scipy.integrate import odeint, solve_bvp, solve_ivp
    # odeint: Integrate a system of ordinary differential equations
    # solve_bvp: Solve a boundary-value problem for a system of ODEs
    # solve_ivp: Solve an initial value problem for a system of ODEs

    # 一阶微分方程组  
    def fvdp(t,y):
        '''
        来源：https://www.jianshu.com/p/ab57b600b854?utm_campaign=shakespeare
        要把y看出一个向量，y = [dy0,dy1,dy2,...]分别表示y的n阶导
        对于二阶微分方程，肯定是由0阶和1阶函数组合而成的，所以下面把y看成向量的话，y0表示最初始的函数，也就是我们要求解的函数，y1表示一阶导，对于高阶微分方程也可以以此类推
        '''
        y0, y1 = y
        ft = 10*np.sin(2*np.pi*t)
        y2 = -2*y1-77*y0+ft
        # y0是需要求解的函数，y1是一阶导
        # 返回的顺序是[一阶导， 二阶导]，这就形成了一阶微分方程组
        return [y1, y2]

    y0 = [0, 0] # 初值[0,0]表示y(0)=0,y'(0)=0  
    t = np.linspace(0,5,100)
    y = odeint(fvdp, y0, t, tfirst=True) # 用 odeint 计算 y(t)
    y_ = solve_ivp(fvdp, t_span=(0,5), y0=y0, t_eval=t) # 用 solve_ivp 计算 y(t)

    # 开始绘图
    plt.subplot(211)
    y1, = plt.plot(t, y[:,0], label='y')
    y1_, = plt.plot(t,y[:,1],label='y‘')            
    plt.legend(handles=[y1,y1_], loc='upper right')
    plt.grid(True)

    plt.subplot(212)
    y2, = plt.plot(y_.t, y_.y[0,:],'g--',label='y(0)')
    y2_, = plt.plot(y_.t, y_.y[1,:],'r-',label='y(1)')
    plt.legend(handles=[y2,y2_], loc='upper right')
    plt.grid(True)

    plt.show()

    # 用已有库的方法解 sg is scipy.signal
    sys = sg.lti([1],[1, 2, 77]) # 方程里的系数  
    ft = 10*np.sin(2*np.pi*t)
    _,y,_ = sg.lsim(sys,ft,T=t)
    # 开始绘图
    plt.plot(t,y,label='simple way') 
    plt.grid(True)
    plt.show()

1.4.5. 冲激响应

• 由单位冲激函数 $\delta(t)$ 所引起的零状态响应，记为 $h(t)$ 。
  • $\delta(t) \to \text{LTI} \to h(t)$
  • 隐含条件:
    $f(t) = \delta(t)$
    对二阶系统 $h(0_-) = h^\prime(0_-) = 0$

1.4.6. 阶跃响应

• 由单位阶跃函数 $\varepsilon(t)$ 所引起的零状态响应，记为 $g(t)$

  • $\varepsilon(t) \to \text{LTI} \to g(t)$
  • 隐含条件:
    $f(t) = \varepsilon(t)$
    $g(0_-)=g^\prime(0_-)=0$

• 关联:
  $g(t) = \int^t_{-\infty} h(\tau) d\tau$
  $h(t) = \frac{d }{d t}g(t)$

1.4.7. Python 冲激响应与阶跃响应

• 求以下系统的冲激响应和阶跃响应:
  $7y^{\prime\prime}(t) + 4y^{\prime}(t) + 6y(t) = f^\prime(t) + f(t)$

    sys = sg.lti([1,1],[7,4,6]) # 方程里的系数 由高次幂到低次幂  
    st, sy = sg.step2(sys)
    it, iy = sg.impulse2(sys)
    sy1, = plt.plot(st, sy, label='step')
    iy1, = plt.plot(it, iy, label='impluse')
    # 开始绘图
    plt.legend(handles=[sy1,iy1], loc='upper right')
    plt.grid(True)
    plt.show()

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1.4.8. 卷积积分 Convolution

• 来源 $\hat{f}(t) = \displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n\Delta)\Delta p(t-n\Delta)$ , p 为脉冲
  $\lim_{\Delta\to0} \hat{f}(t) = f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

• 由 $\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau \longrightarrow \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)h(t-\tau)d\tau$
  可得 $f(t) \to \text{LTI} \to y_{zs}(t)$

  • 卷积积分 $y_{zs}= \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)h(t-\tau)d\tau$

• 定义:

  • $f_1$ 与 $f_2$ 的 卷积: $f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$
  • 记为 $f(t) = f_1(t) \star f_2(t)$

• 代数性质:

  • 三定律:
    1. 交换律: $f_1 \star f_2 = f_2 \star f_1$
    2. 分配律: $f_1 \star [f_2 + f_3] = f_1\star f_2 + f_1 \star f_3$
    3. 结合律: $[f_1\star f_2]\star f_3 = f_1\star [f_2 \star f_3]$

• 特性:

  • $f(t)\star\delta(t-t_0) = \delta(t-t_0) \star f(t) = f(t-t_0)$
  • $f(t)\star \delta^{(n)}(t) = f^{(n)}(t)$
  • $f(t) \star \varepsilon(t) = \int_{-\infty}^{t} f(\tau)d\tau$
  • $\varepsilon(t) \star \varepsilon(t) = t \cdot \varepsilon(t)$
  • 衍生:
    • $f(t) = f_1(t)\star f_2(t)$
    • $f(t-t_1-t_2) = f_1(t-t_1)\star f_2(t-t_2) = f_1(t-t_1-t_2)\star f_2(t) = f_1 \star f_2(t-t_1-t_2)$

• 微分特性:

  • $\frac{d^n}{d t^n}[f_1(t) \star f_2(t)] = f_1^{(n)}(t) \star f_2(t) = f_1(t) \star f_2^{(n)}(t)$
  • $\int_{-\infty}^{t}[f_1(\tau) \star f_2(\tau)]d\tau = [\int_{-\infty}^{t}f_1(\tau)d\tau]\star f_2(t) = f_1(t) \star [\int_{-\infty}^{t}f_2(\tau)d\tau]$
  • if $f_1(-\infty) = 0 \, \text{or} \, f_2^{(-1)}(\infty)=0, \, \text{then} \, f_1(t)\star f_2(t) = f_1^\prime(t) \star f_2^{(-1)}(t)$

• 常用公式汇总:

  • $K \star f(t) = K \cdot [f(t) \text{净面积}]$
  • $f(t) \star \delta(t) = f(t)$
  • $f(t) \star \delta^\prime(t) = f^\prime(t) \star \delta(t) = f^\prime(t)$
  • $f(t) \star \varepsilon(t) = f(t) \star \delta^{(-1)} (t) = f^{(-1)}(t) \star \delta(t) = f^{(-1)}(t)$
  • $\varepsilon(t) \star \varepsilon(t) = t \cdot \varepsilon(t)$
  • $e^{-\alpha t}\varepsilon(t) \star e^{-\alpha t}\varepsilon(t) = t\cdot e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$
  • $e^{-\alpha_1 t}\varepsilon(t) \star e^{-\alpha_2 t}\varepsilon(t) =\displaystyle\frac{1}{\alpha_2 - \alpha_1}(e^{-\alpha_1 t} - e^{-\alpha_2 t})\varepsilon(t) \, (\alpha_1 \neq \alpha_2)$
  • $\varepsilon(t) \star e^{-\alpha t}\varepsilon(t) = \frac{1}{\alpha} (1-e^{-\alpha t})\varepsilon(t)$
  • $f(t) \star \delta_T (t) = f(t) \star \displaystyle \sum^{\infty}_{m=-\infty} \delta(t-mT) = \sum^{\infty}_{m=-\infty} f(t-mT)$
    • 周期为 $T$ 的周期单位冲激函数序列 $\delta_T(t) = \sum^\infty_{m=-\infty} \delta(t-mT)$ ， 常称为梳状 comb 函数。

• 相关函数:

  • 雷达卷积函数:
    $R_{12} (t) = f_1(t) \star f_2(-t) = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(\tau-t)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau+t)f_2(\tau)d\tau = R_{21}(-t)$
    $R_{21} (t) = f_1(-t) \star f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(\tau+t)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau-t)f_2(\tau)d\tau = R_{12}(-t)$
    • Normally $R_{12}(\tau) \neq R_{21}(\tau)$
  • 自相关函数:
    $R (t) = f(t) \star f(-t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)f(\tau-t)d\tau = \int_{-\infty}^{\infty}f(\tau+t)f(\tau)d\tau = R(-t)$

• 其他:

  • 多径传输中存在失真问题， 发射机经某些物体反射产生回波现象，就算是反射信号也被采集。
    把在多条路径上 由延迟时间与衰减系数 的情况 称为混响。
    为了从 有干扰信号的回波系统中提取正常信号，可以设计逆系统进行补偿。
    $e(t) \to \text{回波系统} h(t) \to r(t) \to \text{逆系统} h_i (t) \to e(t)$
    为了保证 输出为原激励信号 $e(t) = e(t) \star \delta (t)$ 必须满足 $h(t) \star h_i(t) = \delta(t)$
    求 $h_i(t)$ 的问题 称为 解卷积 或 反卷积
  • 自适应滤波器 AF (Adaptive Filter) 可以根据误差信号调整系数 去对消 噪声信号，使得输出信号趋近于真实信号。

1.4.9. Python 求卷积积分

• 已知两个连续时间信号为:
  $f_1(t) = \begin{cases} 2, \, & 0<t<1 \\ 0, \, & \text{else} \end{cases} \hspace{3em} f_2(t) = \begin{cases} t, \, & 0<t<2 \\ 0, \, & \text{else} \end{cases}$

    # sg is scipy.signal
    t1 = np.array([t*0.1 for t in range(-10,31)]) # t in [-1, 3]
    f1t = np.array([2 if 0<t<10 else 0 for t in range(-10,31)])
    t2 = np.array([t*0.1 for t in range(-10,31)]) # t in [-1,3]
    f2t = np.array([t*0.1 if 0<t<20 else 0 for t in range(-10,31)]) 
    yt = sg.convolve(f1t, f2t,'full')*0.1 # 计算卷积 calculate convolution  
    t3 = np.array([t*0.1 for t in range(-20,61)]) # t in [-1+-1, 3+3]
    # 开始绘图
    plt.plot(t3, yt, label='conv')
    plt.grid(True)
    plt.show()

1.4.10. 连续系统的算子 P

• 微分算子: $P = \frac{d}{dt}$ ; $P^{(n)} = \frac{d^n}{dt^n}$

• 积分算子: $P^{-1} = \int^{t}_{-\infty} (\cdot) d\tau$

• 性质:

  • $P$ 的 正幂 多项式可以因式分解
  • 设 $A(P), B(P)$ 为 $P$ 的正幂多项式，则 $A(P)B(P) = B(P)A(P)$
  • 微分算子方程公因子 不能随意 消去
  • 设 $A(P), B(P), D(P)$ 为 $P$ 的正幂多项式,
    有 $\displaystyle D(P) \cdot [\frac{A(P)}{D(P)\cdot B(P)}]f(t) = \frac{A(P)}{B(P)}f(t)$
    但 $\displaystyle\frac{A(P)}{D(P)\cdot B(P)}[D(p)f(t)] \neq \frac{A(P)}{B(P)}f(t)$

• 传输算子:
  $H(P) = \displaystyle \frac{B(P)}{A(P)} = \frac{b_m P^m+ b_{m-1} P^{m-1} + \dots + b_0}{P^n + a_{n-1}P^{n-1} + \dots + a_0}$

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1.5. 差分方程

1.5.1. 定义

• 一阶差分:
  $\text{一阶前向差分}\, \displaystyle \frac{\Delta f(k)}{\Delta k} = \frac{f(k+1)-f(k)}{(k+1)-k} \\ \longrightarrow \Delta f(k) = f(k+1) - f(k)$
  $\text{一阶后向差分}\, \displaystyle \frac{\nabla f(k)}{\nabla k} = \frac{f(k)-f(k-1)}{k-(k-1)} \\ \longrightarrow \nabla f(k) = f(k) - f(k-1)$

• 线性性质:
  $\nabla[\alpha f_1(k) + bf_2(k)] = \alpha \nabla f_1(k) + b\nabla f_2(k)$

• 二阶差分:
  $\nabla^2 f(k) = \nabla[\nabla f(k)] = f(k) - 2f(k-1) + f(k-2)$

• m阶差分:
  $\nabla^{m} f(k) = f(k) + b_1f(k-1) + \dots + b_mf(k-m)$

1.5.2. 经典解法

• 差分方程 本质上是 递推的代数方程, 若已知初始条件和激励, 利用迭代法可求其数值解。

$y(k) + a_{n-1}y(k-1)+\dots + a_0y(k-n) \\ = b_mf(k)+b_{m-1}f^(k-1) + \dots + b_0f(k-m)$

• 经典解法: $y(k) = y_h(k) + y_p(k)$

  • $y(k)$ 完全解
  • $y_h(k)$ 齐次解 homogeneous solution
    $y(k) + a_{n-1}y(k-1)+\dots + a_0y(k-n) = 0$
  • $y_p(k)$ 特解

• 特征根: eigenvalue 特征值
  $1 + a_{n-1}\lambda^{-1} + \dots + a_0\lambda^{-n} = 0\, \to\, \lambda_i(i=1,2,\dots, n)$

1.5.3. 初始值

• 初始状态: 用 $y(-1), y(-2), \dots, y(-n)$ 描述 n阶系统的初始状态。

1.5.4. 响应

$y(-l) = y_{zi}(-l) + y_{zs}(-l)$

• 零输入响应: $y_{zi}(k)$ (zero input)

  • 离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态引起的响应
    $y_{zi}(k) +\alpha_{n-1} y_{zi}(k-1) + \dots + \alpha_0 y_{zi}(k-n) = 0$

• 零状态响应: $y_{zs}(k)$ (zero status)

  • 系统的初始状态 $y_{zs}(-l) = 0, \, l = 1,2, \dots, n$为零，仅由激励 $f(k)$ 引起的响应
  • 初始值：由迭代法求出 $y_{zs}(j),\, j = 0,1,\dots,n-1$

• 响应分类:

  • 固有响应：系统固有频率 或叫自由响应
  • 强迫响应：与激励函数有关
  • 暂态响应：随时间增长而消失
  • 稳态响应：通常为阶跃函数和周期

1.5.5. Python 求解离散系统的零状态响应

• 输入信号 $f(k) = s(k) + d(k)$, 其中 $s(k)= (2k)0.9^k, \, d(k)$ 是随机噪声信号。求以下系统的零状态响应(均值滤波结果)，取 $M=5$。
  $y(k) = \displaystyle \frac{1}{M}\sum^{M-1}_{n=0}f(k-n)$

    # sg is scipy.signal
    d = np.random.rand(1,51)-0.5 # random.rand 出来的是 0到1 的随机数
    k = np.array([k for k in range(0,51)])
    s = 2*k*np.power(0.9,k)
    f = s+d[0]

    plt.subplot(211)
    plt.stem(k,f,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)

    M = 5
    a = 1
    b = np.ones(5)/5
    plt.subplot(212)
    y = sg.filtfilt(b,a,f) # digital filter forward and backward to a signal
    plt.stem(k,y,':',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    
    plt.xlabel('time index k')
    plt.show()

1.5.6. 单位脉冲序列

• 单位脉冲序列 (单位样值序列/单位取样序列)
  $\begin{aligned}\delta(k) = \begin{cases} 1 & k = 0 \\ 0 & k \neq 0\end{cases}\end{aligned}$
  • 位移:
    $\begin{aligned}\delta(k-k_0) = \begin{cases} 1 & k = k_0 \\ 0 & k \neq k_0\end{cases}\end{aligned}$
  • 加: $\delta(k) + 2\delta(k) = 3\delta(k)$
  • 乘: $\delta(k) \cdot \delta(k) = \delta(k)$
  • 延时: $\delta(k-1) \cdot \delta(k-2) = 0$
  • 迭分:
    $\begin{aligned}\displaystyle \sum^{k}_{i=-\infty} \delta(i) & = \begin{cases} 0, & k<0 \\ 1, & k\geq0 \end{cases} \\ & = \varepsilon(k)\end{aligned}$
  • 取样性质:
    • $f(k)\delta(k) = f(0) \delta(k)$
    • $f(k)\delta(k-k_0) = f(k_0)\delta(k-k_0)$
    • $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(k) = 1$
    • $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k) = f(0)$
    • $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) \delta(k-k_0) = f(k_0)$
  • 偶函数: $\delta(k) = \delta(-k)$

1.5.7. 单位阶跃序列

• 单位阶跃序列
  $\begin{aligned}\varepsilon(k) = \begin{cases} 0 & k < 0 \\ 1 & k \geq 0\end{cases}\end{aligned}$
  • 位移:
    $\begin{aligned}\varepsilon(k-k_0) = \begin{cases} 0 & k < k_0 \\ 1 & k \geq k_0\end{cases}\end{aligned}$
  • 加: $\varepsilon(k) + 2\varepsilon(k) = 3\varepsilon(k)$
  • 乘: $\varepsilon(k) \cdot \varepsilon(k) = \varepsilon(k)$
  • 延时: $\varepsilon(k-1) \cdot \varepsilon(k-5) = \varepsilon(k-5)$
  • 迭分:
    $\begin{aligned}\displaystyle \sum^{k}_{i=-\infty} \varepsilon(i) & = \begin{cases} 0, & k<0 \\ k+1, & k\geq0 \end{cases} \\ & = (k+1)\varepsilon(k)\end{aligned}$
  • 与 $\delta(k)$ 的关系:
    $\begin{aligned} \delta(k) & = \varepsilon(k) - \varepsilon(k-1) \\ \varepsilon(k) & = \displaystyle \sum_{i=-\infty}^{k}\delta(i) \end{aligned}$

1.5.8. 单位脉冲响应

• 由单位脉冲序列 $\delta(k)$ 所引起的零状态响应，记为 $h(k)$ 。
  • 隐含条件:
    $f(k) = \delta(k)$
    对二阶系统 $h(-1) = h(-2) = 0$

1.5.9. 单位阶跃响应

• 由单位阶跃序列 $\varepsilon(k)$ 所引起的零状态响应，记为 $g(k)$

  • 隐含条件:
    $f(k) = \varepsilon(k)$
    对二阶系统 $g(-1)=g(-2)=0$

• 关联:
  $g(t) = \displaystyle \sum^{k}_{i=-\infty} h(i)$
  $h(t) = \nabla g(k) = g(k) - g(k-1)$

1.5.10. Python 求解单位脉冲响应

• 求以下离散系统的单位脉冲响应:
  $y(k) + 3y(k-1) +2y(k-2) = f(k)$

    # sg is scipy.signal
    k = np.array([k for k in range(11)])
    a = [1., 3., 2.]
    b = [1.]
    h = sg.lfilter(b,a,k) # IIR or FIR filter
    plt.stem(k,h,'-', use_line_collection = True)
    plt.grid(True)
    plt.show()

---

1.5.11. 卷积和

• 由 $\displaystyle\sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i)\delta(k-i) \longrightarrow \sum_{i=-\infty}^{\infty} f(i)h(k-i)$
  可得 $f(k) \to \text{LTI 零状态} \to y_{zs}(k)$

  • 卷积和 $y_{zs}(k)= \displaystyle\sum_{i = -\infty}^{\infty} f(i)h(k-i)$

• 定义:

  • $f_1$ 与 $f_2$ 在区间 $(-\infty,\infty)$ 的 卷积: $f(k) = \displaystyle\sum_{i=-\infty}^{\infty} f_1(i)f_2(k-i)$
  • 记为 $f(k) = f_1(k) \star f_2(k)$
  • $y_{zs}(k)= \displaystyle\sum_{i = -\infty}^{\infty} f(i)h(k-i)= f(k)\star h(k)$
  • 若 $f_1(k)$ 是因果序列 ( $f_1(k)=0,\, k<0$), 则: $f(k) = \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty} f_1(i)f_2(k-i)$
  • 若 $f_2(k)$ 是因果序列 ( $f_2(k)=0,\, k<0$), 则: $f(k) = \displaystyle\sum_{i=-\infty}^{k} f_1(i)f_2(k-i)$
  • 若 $f_1(k), \, f_2(k)$ 均是因果序列 ( $f_1(k)=f_2(k)=0,\, k<0$), 则: $f(k) = \displaystyle[\sum_{i=0}^{k} f_1(i)f_2(k-i)]\varepsilon(k)$

• 代数性质:

  • 三定律:
    1. 交换律: $f_1 \star f_2 = f_2 \star f_1$
    2. 分配律: $f_1 \star [f_2 + f_3] = f_1\star f_2 + f_1 \star f_3$
    3. 结合律: $[f_1\star f_2]\star f_3 = f_1\star [f_2 \star f_3]$

• 特性:

  • $f(k)\star\delta(k-k_0) = \delta(k-k_0) \star f(k) = f(k-k_0)$
  • $\delta(k) \star \delta(k) = \delta(k)$
  • $f(k) \star \varepsilon(k) = \displaystyle\sum_{-\infty}^{k} f(i)$
  • $\varepsilon(k) \star \varepsilon(k) = (k+1) \cdot \varepsilon(k)$
  • $\nabla[f_1(k) \star f_2(k)] = \nabla f_1(k) \star f_2(k) = f_1(k) \star \nabla f_2(k)$
  • 衍生:
    $\begin{aligned}f(k) &= f_1(k)\star f_2(k) \\ f(k-k_1-k_2) & = f_1(k-k_1)\star f_2(k-k_2) \\ &= f_1(k-k_1-k_2)\star f_2(k) \\ & = f_1 \star f_2(k-k_1-k_2)\end{aligned}$

1.5.12. Python 求卷积和

• 求以下两个离散序列的卷积：
  $x_1(k) = \sin(k),\, 0\leq k \leq 10 \hspace{3em} x_2(k) = 0.8^k,\, 0\leq k\leq 15$

    # sg is scipy.signal
    k1 = np.linspace(0,10,11)
    x1 = np.sin(k1)
    plt.subplot(221)
    plt.stem(k1,x1,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('x_1(k)=sin(k)')
    
    k2 = np.linspace(0,15,16)
    x2 = np.power(0.8,k2)
    plt.subplot(222)
    plt.stem(k2,x2,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('x_2(k) = 0.8^k')
    
    plt.subplot(212)
    y = sg.convolve(x1, x2,'full') # 使用 scipy.signal 的卷积函数 convolve
    k3 = np.linspace(0, 25,26)
    plt.stem(k3,y,'-',use_line_collection=True)
    plt.grid(True)
    plt.title('y(k)')
    
    plt.xlabel('time index k')
    plt.subplots_adjust(top=1, wspace=0.4, hspace=0.5) # 调整视图  
    plt.show()

1.5.13. 差分算子 E

$\begin{aligned} E^{-1} & \to \text{延迟算子} \hspace{3em} & E & \to \text{超前算子} \\ E^{-1}f(k) & = f(k-1) & Ef(k) & = f(k+1) \\ E^{-2}f(k) & = f(k-2) & E^{2}f(k) & = f(k+2) \\ E^{-n}f(k) & = f(k-n) & E^{n}f(k) & = f(k+n)\end{aligned}$

• 性质:

  • $E$ 的 正幂 多项式可以因式分解 也可以相乘
  • 设 $A(E), B(E)$ 为 $E$ 的正幂或负幂多项式，则 $A(E)B(E) = B(E)A(E)$
  • 差分算子方程公因子 不能随意 消去
  • 设 $A(E), B(E), D(E)$ 为 $E$ 的正幂多项式,
    有 $\displaystyle D(E) \cdot [\frac{A(E)}{D(E)\cdot B(E)}]f(t) = \frac{A(E)}{B(E)}f(t)$
    但 $\displaystyle\frac{A(E)}{D(E)\cdot B(E)}[D(E)f(t)] \neq \frac{A(E)}{B(E)}f(t)$

• 传输算子:
  $H(E) = \displaystyle \frac{B(E)}{A(E)} = \frac{b_m E^m+ b_{m-1} E^{m-1} + \dots + b_0}{E^n + a_{n-1}E^{n-1} + \dots + a_0}$

信号与系统(Python) 学习笔记摘录 (2) 傅里叶 Fourier