记录一些卷积的公式。这里记录的是平时解题遇到的问题,所以可能比较乱。
进入正题,贫僧要记录的是这个公式:
x1(t−t1)∗x2(t−t2)=x(t−t1−t2)x(t)=x1(t)∗t2(t)
上面这个公式就是卷积的延时性质。
然后就是:
u(t)∗u(t)=tu(t)
上面这个其实就是用了积分器的性质。
和:
x(t)∗u(t)=∫t−∞x(τ)dτ
也是用了积分器的性质。
例题:
- 求
u(t−1)∗u(t−2)
,
u(t)
是阶跃函数。
这个题目直接套用上面的公式就可以了:
令τ=t−1−2=t−3原式=τu(τ)=(t−3)u(t−3)
还是比较简单的例题。。。
x(t)∗σ(t1)=x(t1)x1(t)∗(x2(t)+x3(t))=x1(t)∗x2(t)+x1(t)∗x3(t)
例题:
令
x1(t)=u(t−1)+u(t−2)+u(t−3)
,
x2(t)=σ(t−2)+σ(t)+σ(t+2)
,求
x1(t)∗x2(t)
。
可以直接得出答案:
x1(t)∗x2(t)=x1(t−2)+x1(t)+x1(t+2)
一定要记得的几个求解微分方程的特解的式子:
激励函数
x(t)
|
响应函数的特解
yp(t)
|
E
(常数) |
B
(常数) |
tm
|
B0+B1t+B2t2+⋯+Bmtm(0不是方程的特征根)
|
tr(B0+B1t+B2t2+⋯+Bmtm)(0是方程的一个r重特征根)
|
eαt
|
Beαt
(
α
不是方程的特征根) |
Btreαt
(
α
是方程的一个
r
重特征根) |
cosωt
或
sinωt
|
B1cosωt+B2sinωt
(
±jω
不是特征根) |
t(B1cosωt+B2sinωt)
(
±jω
是特征根) |
其实上面的
tr
都可以那些部分都可以理解成
r=k
,
k
就是指对应的某个特解表达式里的量(
α
或者
jω
)是特征方程的
k
重特征根。
例题:郑军里老师的《信号与系统》52页例2-4.
单位冲激响应符号:
h(t)
单位阶跃响应符号:
g(t)
注意用经典法在解微分方程的时候,要记得整理,右边的输入部分一定不要有
u(t)
,因为那是给输入加上的时间条件,给定了特解的约束条件。不用看
u(t)
,直接查表格里面除了
u(t)
之外的部分,然后直接带入方程中。就是要记得在解完全解之后加上
u(t)
限制时间(或者直接在方程最右边标明
(t>0)
)(但是冲激相应里面的
u(t)
一定要保留代入方程里面)。
例题:孙国霞老师的《信号与系统》P72例2-11
求冲激响应的时候要把输入
x(t)=σ(t)
,求阶跃响应的时候也差不多这样。所以如果微分方程右边的输入式子里面出现了
x′(t)
之类的也要对应的把
σ(t)
求导。
同时注意的是,令左边(输出)的最高次导的次数为
n
,而输入的为
m
,那么要注意冲激响应要相对应地改变(
n=m
时
h(t)
包含一个
σ(t)
,
n<m
时就要包含对应的导数项)。
解题的时候代公式就可以了,左边的输出
h(t)
用下面的公式直接代入,右边如果是求冲激响应的话就代入
σ(t)
,阶跃响应的话就带入阶跃函数,然后平衡方程左右两边的系数。
系统方程式 |
冲激响应
h(t)
|
一阶(特征根
α=−C
) |
dr(t)dt+Cr(t)=E(t)
|
Eeαtu(t)
|
dr(t)dt+Cr(t)=Ede(t)dt
|
Eσ(t)+Eαeαtu(t)
|
二阶(特征根
α1,α2=−C1±C21−4C2√2
) |
d2r(t)dt2+C1dr(t)dt+C2r(t)=Ee(t)
|
Eα1−α2(eα1t−eα2t)u(t)
|
d2r(t)dt2+C1dr(t)dt+C2r(t)=Ede(t)dt
|
Eα1−α2(α1eα1t−α2eα2t)u(t)
|
例题:郑氏《信号与系统》64页的例2-9.、88页2-9.