【笔记】1.离散时间信号与系统

离散时间信号与系统

1.1离散时间信号

1.1.1相关概念

序列的表示 $x(n)$

$x(n{T}_s)=x(t){|}_{t=n{T}_s}\Rightarrow x(n)$ n不是整数的时候没有定义

• $n$ : 所有整数
• $T_s$ ：抽样间隔
• $f_s$ 抽样频率 $f_s=\frac{1}{T_s}$

序列的运算

• 差分

  • 前向差分 $\Delta x(n)=x(n+1)-x(n-1)$
  • 后向差分 $\nabla x(n)=x(n)-x(n-1)$
  • $\nabla x(n)=\Delta x(n-1)$
    • 前向差分的单位延时就是后向差分

• 卷积和

  • $y(n)=x(n)\ast h(n)={\sum }_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(n-m)$
    • 性质：交换律
  • x ( n ) = { 2 , 3 , 1 ; n = 0 , 1 , 2 } x(n)={\{2,3,1;n=0,1,2\}} x(n)={ 2,3,1;n=0,1,2}
    y ( n ) = { 1 , 0 , 2 ; n = 0 , 1 , 2 } y(n)={\{1,0,2;n=0,1,2\}} y(n)={ 1,0,2;n=0,1,2}
    x ( n ) ∗ y ( n ) = { 2 , 3 , 5 , 6 , 2 ; n = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } x(n)*y(n)=\{2,3,5,6,2;n=2,3,4,5,6\} x(n)∗y(n)={ 2,3,5,6,2;n=2,3,4,5,6}
    2 3 1
    1 0 2
    ---------
    4 6 2
    0 0 0
    2 3 1
    -------------------
    2 3 5 6 2

• 常见序列

  • 单位抽样序列

    • $\delta (n)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n!=0\end{array}$ $\delta (n-k)=\{\begin{array}{ll}1,& n=k\\ 0,& n!=k\end{array}$

  • 单位阶跃序列

    • $u(n)=\{\begin{array}{ll}1,& n\ge 0\\ 0,& n<0\end{array}$

  • 矩形序列

    • $R_N(n)=\{\begin{array}{ll}1,& 0\le n\le N-1\\ 0,& else\end{array}$
    • $R_N(n),u(n),\delta (n)$
      • $R_N(n)=u(n)-u(n-N)$
      • $R_N(n)=\delta (n)+\delta (n-1）+\dots \dots +\delta (n-N+1)={\sum }_{m=0}^{N-1}\delta (n-m)$

  • 实指数序列

    • $x(n)={\alpha }^{n}u(n)$ $\alpha$为实数
      • $|\alpha |<1$ ,序列收敛
      • $|\alpha |>1$ ,序列发散

  • 复指数序列

    • 一般形式： $x(n)=e^{(\sigma +j{\omega }_0)n}$
    • 纯虚数形式：$x(n)=e^{j{\omega }_{0}n}$

  • 正弦型序列

    • $x(n)=x(t){|}_{t=nT}=Asin(2\pi ft+\phi ){|}_{t=nT}=Asin(\Omega nT+\phi )=Asin(\omega n+\phi )$
      • 数字角频率 $\omega =\frac{2\pi f}{f_s}=\Omega T(rad)$
      • 模拟角频率 $\Omega$
      • 模拟频率 $f$
      • 抽样频率 $f_s$

• 欧拉公式

  • $\{\begin{array}{l}{e}^{j\omega n}=cos(\omega n)+sin(\omega n)\\ e^{-j\omega n}=cos(\omega n)-jsin(\omega n)\end{array}$

• $x(n)=e^{(\sigma +j{\omega }_{0}n)}$ = $e^{\sigma n}\ast (cos(n{\omega }_0)+jsin(n{\omega }_0))$

1.1.2常见考题

1. 求解单位抽样响应

   • 用那个相乘的方法即可

2. 求解是否为周期序列

   • $Sa(t)$函数是非周期函数 <font color=‘green’, font=2>注： $Sa(\pi x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$ 或者 $Sa(x)=\frac{sin(x)}{x}$

   • $x(n)=Acos(\omega n+\phi )或者x(n)=Asin(\omega n+\phi )$ 的周期判断如下

   • 暂令 $\Gamma$ =$\frac{2\pi }{{\omega }_0}$
     1. 当 $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ 为整数时，例如: $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$=$N$ 时候，周期为N
     2. 当 $\Gamma$ 为有理数时，例如 $\Gamma =\frac{N}{M}$ ($N,M$ 为互素的整数)，则周期为$N$
     3. 当 $\Gamma$ 为无理数时候，为非周期序列

3. 求解是否是线性的

   • 找反例
   • 是否满足零输入零输出
   • 证明是否满足叠加原理(可加性，比例性)
     • 例 $y(n)=[x(n){]}^2$
       $y_1(n)=T[x_1(n){]}^2$
       $y_2(n)=T[x_2(n){]}^2$
       $T[x_1(n)+x_2(n)]=[x_1(n)+x_2(n){]}^2$ != $y_1(n)+y_2(n)$
       不满足叠加原理，故系统不是线性的
   • 证明系统是否是移不变的
     • 找反例
     • 直接证明移不变的性质
       即 $T[x(n-m)]=y(n-m)$
       说明：$T[x(n-m)]$表示把$x(n)转换为x(n-m)$, $y(n-m)表示将y(n)中的n换为n-m$
       • 例子同上
         $T[x(n-m)]=[x(n-m){]}^2=y(n-m)=[x(n-m){]}^2$
         故系统是移不变的

因果系统

$y(n_{n0})只取决于x(n){|}_{n<=n_0}$

title:线性移不变系统是因果系统的充要条件
$h(n)\equiv =0,n<0\Rightarrow h(n)=h(n)u(n)$

稳定系统

有界输入产生有界输出

title:充要条件
${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=P<\infty$

title:$x_1(n),x_2(n)运算后的长度$

1. $x_1(n)+x_2(n)$ len: $len(x_1)+len(x_2)$
2. $x_1(n)\cdot x_2(n)$ len: $min(len(x_1),len(x_2))$
3. $x_1(n)\ast x_2(n)$ len: $len(x_1)+len(x_2)+1$