【信号与系统】笔记（1）——绪论

Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
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一、信号

1、概念

信号：物质的运动形式或状态的变化。
表示：信号常用时间函数（或序列）表示。该函数的图像称为信号的波形。

2、分类

分类标准	信号类别
以自变量取值分类	连续信号、离散信号
以信号的起始时刻分类	因果信号、非因果信号
以 $f(t)$取值分类	周期信号、非周期信号
以确立与随机分类	确定信号、随机信号
以 $f(t)$为实函数或复函数分类	实信号、复信号
以能量是否有限分类	能量有限信号、能量无限信号

3、周期信号和非周期信号

3.1、基本概念

周期信号（period signal）是定义在 (- $\infty$,+ $\infty$)区间，每隔一定时间 $T$(或整数 $N$),按相同规律重复变化的信号。

连续周期信号 $f(t)$满足：
$f(t)=f(t+mT),m=0,\pm1,\pm2,...$

离散周期信号 $f(k)$满足：
$f(k)=f(k+mN),m=0,\pm1,\pm2,...$

满足上述关系的最小 $T$（或整数 $N$）称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。

3.2、周期 $T$求法

举两个例子，通过例子来说明具体求法。
（1） $f_1(t)=\sin2t + \cos3t$ （2） $f_2(t)=\cos2t + \sin \pi t$

解： 两个周期信号 $x(t),y(t)$的周期分别为 $T_1,T_2$,若其周期之比 $\frac{T_1}{T_2}$为有理数，则其和信号 $x(t)+y(t)$仍然是周期信号，其周期为 $T_1$和 $T_2$的最小公倍数。

（1） $\sin2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$
          $\cos3t,T_2=\frac{2\pi}{3}$
          $\frac{T_1}{T_2}=\frac{3}{ 2}$为有理数， $f_1(t)$为周期信号，周期 $2\pi$

（2） $\cos2t,T_1=\frac{2\pi}{2}=\pi$
          $\sin \pi t,T_2=\frac{2\pi}{\pi}=2$
          $\frac{T_1}{T_2}=\frac{\pi}{ 2}$为无理数， $f_2(t)$为非周期信号

总结：①连续的正弦信号一定是周期信号
           ②正弦序列不一定是周期序列
           ③ 两连续周期信号之和不一定是周期信号
           ④两周期序列之和一定是周期序列

二、系统

1、概念

系统（system）：由若干个相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的整体。
例：收音机系统

表示：图示、方程（微分方程、差分方程）。

2、分类

按系统处理信号的形式分类

3、线性系统

3.1概念

线性(linearity property)：均匀性、叠加性。
线性系统：指具有线性特性的系统
系统的线性特性：
                                     $\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_1(t)}$

                                     $\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{y_2(t)}$

              $\underrightarrow{\alpha _1f_1(t)+\alpha _2f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{\alpha _1y_1(t)+\alpha _2y_2(t)}$

3.2线性系统的判断方法

先线性运算，再经系统 = 先经系统，再线性运算

$\left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $C_1$ $\underrightarrow{C_1f_1(t)}$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $C_2$ $\underrightarrow{C_2f_2(t)}$} \end{array} \right\} \to C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \to H \to H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace$
$\left. \begin{array}{l} \text{$\underrightarrow{f_1(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_1(t) \rbrace }$}\\ \text{$\underrightarrow{f_2(t)}$ $H$ $\underrightarrow{ H \lbrace f_2(t) \rbrace}$} \end{array} \right\} \to H \lbrace f_1(t) \rbrace+H \lbrace f_2(t) \rbrace \to C \to C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace$
若 $H \lbrace C_1f_1(t)+C_2f_2(t) \rbrace = C_1H \lbrace f_1(t) \rbrace + C_2H \lbrace f_2(t) \rbrace$

则系统 $H$为线性系统

例：判断方程所描述的系统的线性

$y(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$

解：
$f_1(k) \to y_1(k) ,f_2(k) \to y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\ f_1(k)+f_2(k) \to y_1(k) + y_2(k)\\ f_1(k)+f_2(k)=y_1(k)+y_2(k)+(k-1) \lbrace y_1(k-1)+y_2(k-1) \rbrace\\$
故：方程所描述的系统是线性系统。

4、时不变系统

4.1概念

时不变系统：一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号施加于系统的时间起点无关，这样的系统称为时不变系统。

时不变性：系统具有上述的性质称为时不变性。

4.2判断方法

先时移，再经系统 = 先经系统，再时移

$f(t)\to 时移\tau \to f(t-\tau) \to H \to H \lbrace f(t-\tau) \rbrace \\$
$\underrightarrow{f(t)} H \to H \lbrace f_1(t) \rbrace \underrightarrow{令y(t)=H \lbrace f_1(t) \rbrace} \to 时移\tau \to y(t-\tau)\\$
若： $H \lbrace f(t-\tau) \rbrace = y(t-\tau)$，则系统 $H$是时不变系统。

5、线性时不变系统（Linear and Time-invariant System）

线性时不变系统：系统既是线性的，又是时不变的；或系统的方程为线性常系数微分方程。

三、常用的基本信号

1、单位阶跃信号（unit step signal）

$\epsilon(t) = \begin{cases} 1, & \text{t>0} \\ 0, & \text{t<0} \end{cases}$
时移 $t_0$
$\epsilon(t-t_0) = \begin{cases} 1, & t>t_0\\ 0, & t<t_0 \end{cases}$
                                                                             

2、矩形脉冲信号（门函数）

$g_\tau(t) = \begin{cases} 1, & (|t|<\frac{\tau}{2})\\ 0, & (|t|>\frac{\tau}{2}) \end{cases}$
                                                                                       

3、斜坡信号（ramp signal）

$r(t) = \begin{cases} 0, & t<0 \\ t, & t \geq 0 \end{cases}\\$
                                                                                                         $=t\epsilon(t)$
                                                                                       

4、取样函数（sampling function）

                                 $S_a(t)=\frac{\sin}{t} (-\infty <t<+\infty)$
                   

①偶函数
② 当 $t=0$时， $S_a(t)=1$为最大值
③ 曲线呈衰减振荡
④ $\int_0^\infty {S_a(t)} \,{\rm d}t=\frac{\pi}{2} , \int_ \infty^\infty {S_a(t)} \,{\rm d}t=\pi$

取样函数常用形式 $\sin c(t)=\frac{\sin \pi t}{\pi t}=S_a(\pi t)$

5、单位冲激函数（unit impulse function）

视作矩形脉冲的极限
                                                                   
$\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq0 \end{cases}$
$\int_ \infty^\infty {\delta(t)} \,{\rm d}t=1$
延时冲激： $A\delta(t-t_0)$

冲激偶： $\delta \prime(t)=\frac{d\delta(t)}{dt}$

性质：1、偶函数： $\delta(t)=\delta(-t)$
          2、取样性：

$f(t)\cdot \delta(t)=f(0)\cdot \delta(t)\\ f(t)\cdot \delta(t-t_0)=f(t_0)\cdot \delta(t-t_0)\\$
$\int_ \infty^\infty {f(t)\cdot \delta(t)} \,{\rm d}t=f(0)\\ \int_ \infty^\infty {f(t)\cdot \delta(t-t_0)} \,{\rm d}t=f(t_0)\\$

$\delta(t)$与 $\epsilon(t)$的关系：
$\int_ \infty^t {\delta(\tau)} \,{\rm d}\tau=\epsilon(t)$
$\frac{d\epsilon(t)}{dt}=\delta(t)$

利用该性质可对不连续函数求导。

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(PS：写带有数学公式的文章太难了,写完这篇再也不想写了，是第一篇还是最后一篇？就取决于大家的支持啦)