集合上的关系问题
假设A是一个集合 {1,2,3} ；R是集合A上的关系，例如{<1,1>,<2,2>,< 3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}
自反性：任取一个A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那么R是自反的。
对称性：任取两个A中的元素x,y，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 也在关系R上，那么R是对称的。
反对称性：任取两个A中元素x,y(x!=y)，如果<x,y> 在关系R上,那么<y,x> 不在关系R上，那么R是反对称的。
传递性：任取三个A中元素x,y,z，如果<x,y>,<y,z> 在关系R上，那么 <x,z> 也在关系R上，那么R是传递的。
偏序与全序的概念
偏序： 设R是非空集合A上的关系，如果R是自反的，反对称的，和传递的，则称R是A上的偏序关系。
偏序的定义：设R是集合A上的一个二元关系，若R满足：
Ⅰ 自反性：对任意x∈A，有xRx；
Ⅱ 反对称性（即反对称关系）：对任意x,y∈A，若xRy，且yRx，则x=y；
Ⅲ 传递性：对任意x, y,z∈A，若xRy，且yRz，则xRz。 则称R为A上的偏序关系。
全序：如果R是A上的偏序关系，那么对于任意的A集合上的 x,y，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一，那么则称R是A上的全序关系。
全序的定义：设集合X上有一全序关系，如果我们把这种关系用 ≤ 表述，则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立：
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 则 a = b (反对称性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 则 a ≤ c (传递性) a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)
注意：完全性本身也包括了自反性。 所以，全序关系必是偏序关系
所以可以看到，全序也是一种偏序。偏序究竟在说啥，关键在于反对称性上，就是说，<x,y> 在关系R上，那么 <y,x> 不在关系R上，那我问你，<y,x> 关系是啥，就是未知。所以说偏序就在于你的集合A={1,2,3,4}，有一些元素的关系根据R你是得不出的。那么既然你不知道这个<y,x>，那么全序关系上，就多加一个条件，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一。
举例
偏序举例：
假设有 A={1,2,3,4}，假设R是集合A上的关系：{<1,1>,<2,2>,< 3,3>,<4,4>,<1,2>,<1,4>,<2,4>,< 3,4>}，那么：
自反性：可以看到 <1,1>,<2,2>,< 3,3>,<4,4> 都在R中，满足。
反对称性：由于 <1,1>,<2,2>,< 3,3>,<4,4> 不属于 x !=y ，所以不考虑这4种，对于 <1,2>，有 <2,1> 不在R中；对于<2,4> 有<4,2>不在R中；对于<3,4> 有<4,3> 不在 R中，满足。
传递性：<1,1><1,2>在R中，并且<1,2>在R中；<1,1><1,4>在R中，并且<1,4>在R中；<2,2><2,4>在R中，并且<2,4>在R中；< 3,3><3,4>在R中，并且<3,4>在R中；等等其他，满足。所以说R是偏序关系。
全序举例：
假设有 A={a,b,c}，假设R是集合A上的关系：{<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<a,c>,<b,c>}和上述一样，可以证明具有自反性，反对称性，传递性，所以是偏序的，有因为有 <a,b>,<a,c>,<b,c>， 也就是说两两关系都有了，所以满足对于任意的A集合上的 x,y，都有 x <= y，或者 y <= x，二者必居其一，所以说是全序关系。
应用
这个概念有什么用：
在 《Time, Clocks, and the Ordering of Events in a Distributed System》 论文中介绍到，我们一般怎么定义一个事情是在另一个事情之前发生，很简单，看看时间就完事了，在这单机或者说单服务器，单核下是没问题的。
但是，在计算机分布式系统中，假设有A，B两个服务器，他们的本机时间可能不同步的，或者有差别的，或者说不准的，那么这个时候，你就很难定义A服务器的这个请求先发生，还是B服务器的这个请求先发生。所以在论文里面，Lamport 是这样定义的：
(1) If a and b are events in the same process, and a comes before b, then a -> b.
(2) If a is the sending of a message by one process and b is the receipt of the same message by another process, then a -> b.
(3) If a-> b and b-> c then a -> c. Two distinct events a and b are said to be concurrent if a 非-> b and b 非-> a.
那么我们假设没有最后一句会出现什么：
Two distinct events a and b are said to be concurrent if a 非-> b and b 非-> a
如下图所示：
这里我们可以看到 3 个处理器，你可以认为是3个服务器，这个时候，P服务器的 p3处理一个请求，Q服务器q3也处理一个请求，并且这两个请求没有任何关系，那么他们谁先谁后，虽然看起来是q3先，但是P服务器在 p4节点之前根本不知道Q服务器的实际运行q3时间啊，所以这个时候，Lamport 加了一个条件，这种情况下（P服务器在 p4节点之前）这两个事件p3和q3算是并发的。
上面这种算法是怎么实现的呢：其实也不难，对于单核处理器，每一个事件，计数器 i++ 即可。对于不同处理器，有因果关系的，当发送消息的时候，也把自己的这个计数传过去，然后另外一个处理器取 Math.max(currentValue, 传过来的计数) + 1 即可。
那么这样计数就有问题了，A服务器和B服务器的计数有可能在某个物理时刻是相等的呢，相等怎么办，Lamport 给出的定义就是相等我们就看两个服务器的编号比较大小。
总结
通过上面，可以感性的认识到，偏序关系实际上就是你没考虑全了，全序关系就是你需要补上一下关系，让全部情况都适用了。
