偏序关系&Dilworth定理

偏序关系

先介绍一些形式上的定义。

定义一个作用在集合 $S$ 上的二元关系 $\le$（并不是指小于等于，但是用这个符号比较形象，因为 $\le$ 自身就是广泛满足偏序关系的），若 $S$ 满足：

1. 自反性： 对于任意 $x\in S$，有 $x\le x$。
2. 反对称性： 如果有 $x\le y,y\le x$，那么有 $x=y$。
3. 传递性： 如果有 $x\le y,y\le z$，那么有 $x\le z$。

则称 $\le$ 为 $S$ 上的偏序关系。

最小元： 对于 $x$ 而言，若对于任意 $y\le x$，都满足 $y=x$，那么 $x$ 就是一个最小元。

可比较： 对于两个元素 $x,y$，若有 $x\le y$ 或 $y\le x$，那么称他们可比较。

全序关系： 若集合内任意两个元素都可比较，那么称 $\le$ 是 $S$ 上的全序关系。举个例子，所有 $\le$ 在 $Z$（整数集）上就是全序关系，而 $\le$ 在复数域上就是偏序关系。

链： 一个偏序集合中的一个全序子集，又被称为链，即满足任意两个元素都可比较的子集。

反链： 类似的，即满足任意两个元素都不可比较的子集。

Dilworth定理

这是一个对偶定理，也就是说有两条：

1. 定理1： 其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分（即将集合划分为最少的反链）中反链的数目。
2. 定理2： 其最长反链中元素的数目必等于其最小链划分中链的数目。

证明其实也很容易看懂，先证明定理 $1$：

设 $r$ 为最长链的元素数目，$k$ 为最小反链划分中反链的数目。

分两部分证明，先证明 $k\ge r$，然后证明 $k\le r$，最后由此得到 $r=k$。

由于最长链中的元素两两不能在同一反链中，所以反链数目至少为 $r$，即 $k\ge r$。

设 $A_1=S$，将 $A_1$ 中所有最小元取出得到 $a_1$，将 $a_1$ 从 $A_1$ 中删掉得到 $A_2$，反复操作得到 $2n$ 个集合，即 $A_1$ ~ $A_n$ 和 $a_1$ ~ $a_n$，不难发现 $a_1$ ~ $a_n$ 是一个反链划分。

不难取出一个长度为 $n$ 的链 $c_1$ ~ $c_n$，其中 ，$c_i\in a_i$。由于最长链长度为 $r$，所以有 $r\ge n$，又由于反链划分最少为 $k$，所以又有 $k\le n$，所以有 $k\le r$。

证毕。 定理 $2$ 证明类似，不赘述了。

应用

我们早就学过的 导弹拦截 就是经典应用。

若拦截了 $i$ 之后可以拦截 $j$，那么需要满足偏序关系：$i<j,a_i\ge a_j$。第一问就是求最长链长度，随便dp即可，第二问要求最小链划分数目，这就等于最大反链划分数目，即最长上升子序列。

还有很多题可以上网搜到，这里也提供一题：[Poi1998]Flat broken lines。