二元关系：等价，相容，偏序

等价

相容

相容关系的关系图的特点

每个节点都有环(自反性决定的)
不同节点之间如果有边一定成对出现(对称性决定)

由以上特点可对关系图简化

不画环(自反性决定的)
两个有向边用一个无向边取代(对称性决定)

相容关系的关系矩阵的特点

主对角线都是1(自反性决定的)
沿着主对角线对称的元素相等(对称性决定)

由以上特点可对关系矩阵简化

下三角矩阵

相容类

相容类：根据相容关系分类，如果两个元素满足相容关系，则分为一类
下图中的相容类有：
{ a , b } , { a , b , c } , { a , c , d } , { a , b , c , d } , { d , e } , { b , c , f } , { g } 等 \{a,b\},\{a,b,c\},\{a,c,d\},\{a,b,c,d\},\{d,e\},\{b,c,f\},\{g\}等 { a,b},{ a,b,c},{ a,c,d},{ a,b,c,d},{ d,e},{ b,c,f},{ g}等

每个完全多边形构成一个相容类：

最 大 相 容 类 （ 不 被 其 他 相 容 类 所 真 包 含 的 类 ) : 最 大 相 容 类 就 是 找 图 中 的 最 大 完 全 多 边 形 : { a , b , c , d } , { b , c , f } , { d , e } , { g } r 是 X 中 的 相 容 关 系 , 完 全 覆 盖 C r ( X ) ： 由 所 有 最 大 相 容 类 为 元 素 构 成 的 集 合 最大相容类（不被其他相容类所真包含的类):\\ 最大相容类就是找图中的最大完全多边形:\{a,b,c,d\},\{b,c,f\},\{d,e\},\{g\}\\ r是X中的相容关系,完全覆盖Cr(X)：\\由所有最大相容类为元素构成的集合 最大相容类（不被其他相容类所真包含的类):最大相容类就是找图中的最大完全多边形:{ a,b,c,d},{ b,c,f},{ d,e},{ g}r是X中的相容关系,完全覆盖Cr(X)：由所有最大相容类为元素构成的集合

偏序≼（半序）

偏序关系的关系图的特点

每个节点都有环(自反性决定的)
不同节点之间如果有边，一定成对出现只出现一条 (反对称性决定)

由以上特点可对关系图简化

不画环(自反性决定的)
第一元素在左，第二元素在右，第一元素在下，第二元素在上以表示方向(反对称性决定)
有<a,b>，<b,c>则<a,c>，但在图中省略<a,c>(传递性)

极大(小)元

$$设（P,\preccurlyeq ）是半序集，A\subseteq P,若a\in A,且在A中不存在b(b\ne a),a\preccurlyeq b,则称a为A中的极大元$$

最大(小)元

$$设（P,\preccurlyeq ）是半序集，A\subseteq P,若a\in A,\forall b\in A,b\preccurlyeq a,则称a为A中的最大元$$
$$最大元也是在子集A中寻找，而非全集P中寻找，只要有唯一的极大极小元，则其为最大最小元，否则不存在$$

上(下)界

$$设（P,\preccurlyeq ）是半序集，A\subseteq P,若a\in P,\forall b\in A,b\preccurlyeq a,则称a为A中的上界$$
$$上界是在全集P中寻找$$

上(下)确界

$$设（P,\preccurlyeq ）是半序集，A\subseteq P,a是A的一个上界，任意A的上界b都有a\preccurlyeq b,称a为A中的上确界$$

全序关系(线序，链)：集合上有半序关系R，如果任何两个元素都R关系