等价关系
等价关系的定义
定义:设
R为非空集合
A上的关系,若
R是自反的、对称的和传递的,则称
R为
A上的等价关系。对任何
x,y∈A,若
<x,y>∈R,则记作
x∼y
例:
- 若有
A={1,2,...,8},
R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)}。则
R为
A上的等价关系。
- 动物按种属进行分类后,“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系。
- 集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系。
等价类
设
R是非空集合
A上的等价关系,则
A上互相等价的元素构成了
A的若干个子集,称作等价类。
等价类的一般定义:设
R是非空集合
A上的等价关系,对任意的
x∈A,令
[x]R={y∣y∈A,xRy}则称
[x]R为
x关于
R的等价类,简称
x的等价类,简记为
[x]
例如:若有
A={1,2,...,8},
R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)},有等价类:
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
[3]=[6]={3,6}等价类具有如下性质:
设
R是非空集合
A上的等价关系,对任意的
x,y∈A,下面的结论成立。
-
[x]̸=∅,且
[x]⊆A;
- 若
xRy,则
[x]=[y];
- 若
x̸Ry,则
[x]∩[y]=∅;
-
⋃x∈A[x]=A.
其中,(1)表明任何等价类都是集合
A的非空子集;(2)和(3)表明在
A中任取两个元素,它们的等价类或是相等,或是不交;(4)表示所有等价类的并集就是
A.
商集
定义:设
R是非空集合
A上的等价关系,以
R的不交等价类为元素的集合称作
A在
R下的商集,记作
A/R:
A/R={[x]R ∣ x∈A}例如:
1、若有
A={1,2,...,8},
R={<x,y>∣x,y∈A∧x≡y(mod3)},有商集:
A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}
2、非空集合
A上的全域关系
EA是
A上的等价关系,对任意
x∈A有
[x]=A,商集
A/EA={A}
划分与划分块
设
A是非空集合,若存在一个
A的子集族
π(π⊆P(A))满足以下条件:
-
∅∈/π
-
π中任意两个元素不交
-
π中所有元素的并集等于
A,则称
π为
A的一个划分,且称
π中的元素为划分块
例:考虑集合
A={a,b,c,d},则:
-
{{a},{b,c},{d}}
-
{{a,b,c,d}}
-
{{a,b},{c},{a,d}}
-
{∅,{a,b},{c,d}}
-
{{a},{b,c}}
中(1)、(2)是
A的划分;(3)不是
A的划分,因为子集
{a,b}与
{a,d}有交;(4)不是
A的划分,因为
∅在其中;(5)不是
A的划分,因为所有子集的并集不为
A.
由商集和划分的定义不难看出若有
A上的二元关系
R={<x,y> ∣ x,y∈π},则可证明
R是
A上的等价关系,称为有划分
π所诱导的等价关系,且该等价关系的商集为
π。所以集合
A上的等价关系与集合
A的划分是一一对应的。
偏序关系
在介绍偏序关系之前先了解一下什么是全序关系:
全序集的定义: 设
<A,≼>为偏序集,若对任意的
x,y∈A,
x和
y都可比,则称
≼为
A上的全序关系,且称
<A,≼>为全序集。
例如:
{1,2,3,4,5}上的
⩽关系就是全序关系,而整除关系就不是全序关系。
偏序关系的定义
设
R为非空集合
A上的关系,若
R是自反的、反对称的、传递的,则称
R为
A上的偏序关系。简称偏序,记作
≼
设
≼为
A上的偏序关系,若有有序对
<x,y>属于偏序
≼,可记作
x≼y,读作
x小于等于
y,不过这里的“小于等于”不是指数的大小,而是指它们在偏序中的位置先后。
例如在集合
A={1,2,3}中,偏序
≼是
A上的大于等于关系,则:
≼={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1><1,1>}那么就有
3≼2、
3≼1等,它们分别表示
<3,2>∈≼、
<3,1>∈≼
偏序集
偏序集定义:一个集合
A与
A上的偏序关系
R一起称作偏序集,记作
<A,R>。
可比与盖住:
设
<A,≼>为偏序集,对于任意的
x,y∈A,若果
x≼y或
y≼x成立,则称
x与
y是可比的,若
x≺y(即
x≼y∧x̸=y),且不存在
z∈A使得
x≺z≺y,则称
y盖住
x。
例如:
<A,≼>是偏序集,其中
A={1,2,3,4,5},
≼是整除关系。
那么对任意
x∈A都有
1≼x,所以1和1,2,3,4,5都是可比的;但是2与3相互不能整除,所以2和3是不可比的:。
对于1和2来说,
1≺2,并且不存在
z∈A使得1整除
z并且
z整除2,所以2盖住1,同样的有4盖住2,但4不盖住1因为有
1≺2≺4。
显然的,若
x与
y不可比,则一定不会有
x盖住
y或反之。
哈斯图
对于又穷的偏序集
<A,≼>可以用哈斯图来描述。在哈斯图中,每一个节点表示
A中的一个元素,节点位置按它们在偏序集中的次序从低向上排列。若
y盖住
x则在
xy之间连一条直线。
例如:
<A,≼>是偏序集,其中
A={1,2,3,4,5},
≼是整除关系,则该偏序集的哈斯图为:
由哈斯图不能看出全序集的哈斯图是一条直线,因此,全序集也称做线序集
元与界
设
<A,≼>为偏序集,
B⊆A
- 若
∃y∈B,使得
∀x(x∈B→y≼x)成立,则称
y是
B的最小元。
- 若
∃y∈B,使得
∀x(x∈B→x≼y)成立,则称
y是
B的最大元。
- 若
∃y∈B,使得
¬∃x(x∈B∧x≺y)成立,则称
y是
B的极小元。
- 若
∃y∈B,使得
¬∃x(x∈B∧y≺x)成立,则称
y是
B的极大元。
设
<A,≼>为偏序集,
B⊆A
- 若
∃y∈A,使得
∀x(x∈B→x≼y)成立,则称
y为
B的上界。
- 若
∃y∈A,使得
∀x(x∈B→y≼x)成立,则称
y为
B的下界。
- 令
C={y ∣ ∀x(x∈B→x≼y)},则称
C的最小元为
B的上确界(最小上界)
- 令
C={y ∣ ∀x(x∈B→y≼x)},则称
C的最大元为
B的下确界(最大下界)