集合论—等价关系与偏序关系

等价关系

等价关系的定义

定义：设 $R$为非空集合 $A$上的关系，若 $R$是自反的、对称的和传递的，则称 $R$为 $A$上的等价关系。对任何 $x,y\in A$，若 $<x,y>\in R$，则记作 $x\sim y$

例：

1. 若有 $A=\{1,2,...,8\}$， $R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$。则 $R$为 $A$上的等价关系。
2. 动物按种属进行分类后，“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系。
3. 集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系。

等价类

设 $R$是非空集合 $A$上的等价关系，则 $A$上互相等价的元素构成了 $A$的若干个子集，称作等价类。

等价类的一般定义：设 $R$是非空集合 $A$上的等价关系，对任意的 $x\in A$，令 $[x]_R=\{y|y\in A, x\text{R}y\}$则称 $[x]_R$为 $x$关于 $R$的等价类，简称 $x$的等价类，简记为 $[x]$

例如：若有 $A=\{1,2,...,8\}$， $R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$，有等价类： $[1]=[4]=[7]=\{1,4,7\}$ $[2]=[5]=[8]=\{2,5,8\}$ $[3]=[6]=\{3,6\}$等价类具有如下性质：
设 $R$是非空集合 $A$上的等价关系，对任意的 $x,y\in A$，下面的结论成立。

1. $[x]\neq\varnothing$，且 $[x]\subseteq A$；
2. 若 $x\text{R}y$，则 $[x]=[y]$；
3. 若 $x\not \text{R}y$，则 $[x]\cap[y]=\varnothing$；
4. $\bigcup_{x\in A}[x]=A$.

其中，(1)表明任何等价类都是集合 $A$的非空子集；(2)和(3)表明在 $A$中任取两个元素，它们的等价类或是相等，或是不交；(4)表示所有等价类的并集就是 $A$.

商集

定义：设 $R$是非空集合 $A$上的等价关系，以 $R$的不交等价类为元素的集合称作 $A$在 $R$下的商集，记作 $A/R$： $A/R=\{[x]_R\ |\ x\in A\}$例如：
1、若有 $A=\{1,2,...,8\}$， $R=\{<x,y>|x,y\in A\land x\equiv y\pmod 3\}$，有商集： $A/R=\{\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6\}\}$

2、非空集合 $A$上的全域关系 $E_A$是 $A$上的等价关系，对任意 $x\in A$有 $[x]=A$，商集 $A/E_A = \{A\}$

划分与划分块

设 $A$是非空集合，若存在一个 $A$的子集族 $\pi(\pi \subseteq P(A))$满足以下条件：

1. $\varnothing \notin \pi$
2. $\pi$中任意两个元素不交
3. $\pi$中所有元素的并集等于 $A$，则称 $\pi$为 $A$的一个划分，且称 $\pi$中的元素为划分块

例：考虑集合 $A=\{a,b,c,d\}$，则：

1. $\{\{a\}, \{b,c\},\{d\}\}$
2. $\{\{a,b,c,d\}\}$
3. $\{\{a,b\}, \{c\},\{a,d\}\}$
4. $\{\varnothing, \{a,b\}, \{c,d\}\}$
5. $\{\{a\},\{b,c\}\}$

中(1)、(2)是 $A$的划分；(3)不是 $A$的划分，因为子集 $\{a,b\}$与 $\{a,d\}$有交；(4)不是 $A$的划分，因为 $\varnothing$在其中；(5)不是 $A$的划分，因为所有子集的并集不为 $A$.

由商集和划分的定义不难看出若有 $A$上的二元关系 $R=\{<x,y>\ |\ x,y \in\pi\}$，则可证明 $R$是 $A$上的等价关系，称为有划分 $\pi$所诱导的等价关系，且该等价关系的商集为 $\pi$。所以集合 $A$上的等价关系与集合 $A$的划分是一一对应的。

偏序关系

在介绍偏序关系之前先了解一下什么是全序关系：
全序集的定义： 设 $<A,\preccurlyeq>$为偏序集，若对任意的 $x,y\in A$， $x$和 $y$都可比，则称 $\preccurlyeq$为 $A$上的全序关系，且称 $<A,\preccurlyeq>$为全序集。

例如： $\{1,2,3,4,5\}$上的 $\leqslant$关系就是全序关系，而整除关系就不是全序关系。

偏序关系的定义

设 $R$为非空集合 $A$上的关系，若 $R$是自反的、反对称的、传递的，则称 $R$为 $A$上的偏序关系。简称偏序，记作 $\preccurlyeq$

设 $\preccurlyeq$为 $A$上的偏序关系，若有有序对 $<x,y>$属于偏序 $\preccurlyeq$，可记作 $x\preccurlyeq y$，读作 $x$小于等于 $y$，不过这里的“小于等于”不是指数的大小，而是指它们在偏序中的位置先后。

例如在集合 $A=\{1,2,3\}$中，偏序 $\preccurlyeq$是 $A$上的大于等于关系,则： $\preccurlyeq = \{<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1><1,1>\}$那么就有 $3\preccurlyeq 2$、 $3\preccurlyeq 1$等，它们分别表示 $<3,2>\in\preccurlyeq$、 $<3,1>\in\preccurlyeq$

偏序集

偏序集定义：一个集合 $A$与 $A$上的偏序关系 $R$一起称作偏序集，记作 $<A,R>$。

可比与盖住：
设 $<A,\preccurlyeq>$为偏序集，对于任意的 $x,y\in A$，若果 $x\preccurlyeq y$或 $y\preccurlyeq x$成立，则称 $x$与 $y$是可比的，若 $x\prec y$(即 $x\preccurlyeq y \land x\neq y$)，且不存在 $z\in A$使得 $x\prec z\prec y$，则称 $y$盖住 $x$。

例如： $<A,\preccurlyeq >$是偏序集，其中 $A=\{1,2,3,4,5\}$， $\preccurlyeq$是整除关系。

那么对任意 $x\in A$都有 $1\preccurlyeq x$，所以1和1,2,3,4,5都是可比的；但是2与3相互不能整除，所以2和3是不可比的:。

对于1和2来说， $1\prec 2$，并且不存在 $z\in A$使得1整除 $z$并且 $z$整除2，所以2盖住1，同样的有4盖住2，但4不盖住1因为有 $1\prec 2\prec 4$。

显然的，若 $x$与 $y$不可比，则一定不会有 $x$盖住 $y$或反之。

哈斯图

对于又穷的偏序集 $<A,\preccurlyeq>$可以用哈斯图来描述。在哈斯图中，每一个节点表示 $A$中的一个元素，节点位置按它们在偏序集中的次序从低向上排列。若 $y$盖住 $x$则在 $xy$之间连一条直线。

例如： $<A,\preccurlyeq >$是偏序集，其中 $A=\{1,2,3,4,5\}$， $\preccurlyeq$是整除关系，则该偏序集的哈斯图为：

由哈斯图不能看出全序集的哈斯图是一条直线，因此，全序集也称做线序集

元与界

设 $<A,\preccurlyeq>$为偏序集， $B\subseteq A$

1. 若 $\exists y\in B$，使得 $\forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$成立，则称 $y$是 $B$的最小元。
2. 若 $\exists y\in B$，使得 $\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$成立，则称 $y$是 $B$的最大元。
3. 若 $\exists y\in B$，使得 $\lnot\exist x(x\in B\land x\prec y)$成立，则称 $y$是 $B$的极小元。
4. 若 $\exists y\in B$，使得 $\lnot\exist x(x\in B\land y\prec x)$成立，则称 $y$是 $B$的极大元。

设 $<A,\preccurlyeq>$为偏序集， $B\subseteq A$

1. 若 $\exist y\in A$，使得 $\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)$成立，则称 $y$为 $B$的上界。
2. 若 $\exist y\in A$，使得 $\forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)$成立，则称 $y$为 $B$的下界。
3. 令 $C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)\}$，则称 $C$的最小元为 $B$的上确界(最小上界)
4. 令 $C=\{y\ |\ \forall x(x\in B\to y\preccurlyeq x)\}$，则称 $C$的最大元为 $B$的下确界(最大下界)