欧拉函数简单总结

1. 定义: 欧拉函数 Φ(X) 为小于等于X且与X互质的数的个数

2. 重要性质

○1.Φ(p)=p-1 (p是质数).
○2.Φ(x)为积性函数 即 Φ(p*q)=Φ(p)×Φ(q) 其中 p,q互质 .
○3.Φ(p^k)=(p-1)×(p^k-1) (p是质数).
○4.当p为质数且p|x时，Φ(x*p)=Φ(x)*p.
○5.设n是一个正整数,$\sum_{d|n}\Phi(d)=n$
○6.设$1<=k<=n$,那么有$\sum_{(k,n)=1}=\frac12n\Phi(n)$
○7.若a与n互质,那么若$a^n≡b (mod\;p)$则$a^{n\;mod\;\Phi(p)}≡b(mod\;p)$(由欧拉定理易得)

性质3的证明:
∵p^k 仅含有 p 这一个质因子故小于 p^k的不与之互质的数仅有p的倍数，共有(p^k/p)=p^k-1个
即Φ(p^k)=p^k-p^k-1=p^k-1×(p-1) 即证

性质4的证明:
∵p|x 令P为x的质因子集合(1-1/P)=(1-1/p1)×…×(1-1/pn)
∴Φ(x)=x*(1-1/P) Φ(p)=p-1
∴Φ(x*p)=(x*p)(1-1/P) (引入p后质因子集合不变 ∵p是x的质因子)
∴Φ(x)=x*(1-1/P)*p=Φ(x)*p, 即证

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3. 求法 ：

通项公式:

$$Φ(X)=X*Π(1-\frac1{p_i})其中p为x的质因子$$

证明如下:

预备知识:
1. Φ(p)=p-1 (p是质数).
2. 唯一分解定理: X=(p₁^k1 × p₂^k2….×p_n^kn) 其中p为X的质因子.
3. Φ(x)为积性函数 即 Φ(p*q)=Φ(p)×Φ(q) 其中 p,q互质 .
4. Φ(p^k)=(p-1)×(p^k-1)

证明:
Φ(X)=Φ(p₁^k1 × p₂^k2….×p_n^kn)其中p为X的质因子
∵X的质因子的任何次方都互质
∴Φ(X)=Φ(p₁^k1) × Φ(p₂^k2)×….×Φ(p_n^kn)
而Φ(p^k)=(p-1)×(p^k-1)

∴Φ(X)=(p₁-1) ×(p₂-1)×….×(p_n-1)(p₁^k1-1 ×p₂^k2-1….×p_n^kn-1)

每项提出一个p_i即得 Φ(X)=X*Π(1-1/p_i)

4. 公式法和线性递推法求解欧拉函数
1. $O(\sqrt{n})$ 公式法

inline int phi(int x)
{
    if(x==1) return 1;
    int res=x;
    for(register int i=2;i<=sqrt(x);i++){
        if(x%i==0){
            res-=res/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x!=1) res-=res/x;//最后一个也要算;
    return res;
}

2.$O(n)$ 递推法

for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]) {prime[++tot]=i;phi[i]=i-1;}
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(1ll*i*prime[j]>n) break;
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
//当 prime[j]是i的约数时,phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(phi[prime[j]]);
//否则,phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[j] =phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }

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