【总结】欧拉函数相关

欧拉函数

对于 $n(n\in N*)$ ， $\varphi(n)$ 表示小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的个数
例如， $\varphi(8)=4$ ，因为1,3,5,7与8互质

以下是几个性质

一、 $\varphi(p)=p-1(p\in质数)$

这是显然的。

二、 $\varphi(p^a)=(p-1)*p^{a-1}$

因为可以被 $p$ 整除的数可以表示为 $p*t(t=1,2,3,\cdots,p^{a-1}-1)$ ，所以与 $p^a$ 不互质的数一共有 $(p^{a-1}-1)$ 个。
那么， $\varphi(p^{a})=p^a-1-(p^{a-1}-1)=\varphi(p^{a})-\varphi(p^{a-1})$
即
$\varphi(p^a)=(p-1)*p^{a-1}$

三、 $\varphi(x)=x*\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})(p_i\in质数)$

现在给定一个数 $x$ ，根据唯一分解定理
$x=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}*p_1^{k_1}*\cdots*p_t^{k_t}$
根据容斥原理，
$\varphi(x)=x-\frac{x}{p_1}-\frac{x}{p_2}-\cdots-\frac{x}{p_t}+\frac{x}{p_1p_2}+\frac{x}{p_1p_3}+\cdots+\frac{x}{p_{t-1}p_t}-\frac{x}{p_1p_2p_3}-\cdots+\cdots$
即,
$\varphi(x)=x*(1-\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}-\cdots-\frac{1}{p_t}+\frac{1}{p_1p_3}+\cdots+\frac{1}{p_{t-1}p_t}-\frac{1}{p_1p_2p_3}-\cdots+\cdots)$
发挥一下想象或者测一下小数据，就可以得到
$\varphi(x)=x*\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})$

四、 $\varphi(p)=\varphi(a)*\varphi(b)(其中gcd(a,b)=1)$

根据唯一分解定理
$a=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}*p_3^{k_3}*p_1^{k_1}*\cdots*p_t^{k_t}\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots①$
$b=q_1^{k_1}*q_2^{k_2}*q_3^{k_3}*q_1^{k_1}*\cdots*q_h^{k_h}\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots②$
因为 $gcd(a,b)=1$ ，所以①式和②式中任意的 $p$ 和 $q$ 都不相等
根据引理三,
$\varphi(a)=a*\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots③$
$\varphi(b)=b*\prod_{i=1}^h(1-\frac{1}{q_i})\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\cdots④$
$③*④$ ，得：
$\varphi(a)*\varphi(b)=a*b*\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})*\prod_{i=1}^h(1-\frac{1}{q_i})$
令 $x=a*b$ ，那么：
$\varphi(p)=\varphi(a)*\varphi(b)$
然而，这里是有些问题的，我还不知道 $\prod_{i=1}^t(1-\frac{1}{p_i})*\prod_{i=1}^h(1-\frac{1}{q_i})=\prod_{i=1}^l(1-\frac{1}{g_i})\ (g_i是x的唯一分解)$ 但小数据试了是没有问题的。其实显然，因为 $a$ 和 $b$ 互质。

五、 $\varphi(ip)=\varphi(i)p\ (i\ mod\ p=0)$

因为若 $i\ mod\ p=0$ ，那么 $(i+p)\ mod\ p=0$ 。同理：若 $i\ mod\ p\neq0$ ，那么 $(i+p)\ mod\ p\neq0$ 。
所以
$\varphi(i*2)=\varphi(i)*2$
容易得到
$\varphi(i*3)=\varphi(i)*3$
$\cdots\cdots$
$\varphi(i*p)=\varphi(i)*p$

欧拉函数线性筛

根据欧拉函数的性质，我们可以在筛素数的同时将欧拉函数一起线性筛出来
source:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int p[100000],vis[10000000],phi[1000000];
int main(){
    int num=0,n;
    scanf("%d",&n);
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])//若i是素数，它就和所有小于i的正整数互质(性质一)
        {
            p[++num]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        int k;
        for(int j=1;j<=num&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            k=i*p[j];
            vis[k]=1;
            if(i%p[j]==0)//(性质五)
            {
                phi[k]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);//(性质二)
        }

    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("%d ",phi[i]);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}