欧拉函数求法总结及相关例题

注意：本博客并非写给欧拉函数的初学者，而是为已经学会欧拉函数的OIer们提供一点总结。

方法一：根据公式求解单个数的欧拉函数值

根据欧拉函数的通项公式 $\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$ 通过对数x进行类似质因数分解的操作完成单个欧拉函数值的计算。复杂度 $\Theta(\sqrt{x})$ 。
模板题：POJ2407
代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
using namespace std;
int n;
int main(){
	while(scanf("%d",&n)==1&&n!=0){
		int ans=n,lim=sqrt(n);
		rep(i,2,lim) if(n%i==0){
			ans=ans/i*(i-1);//先除再乘，避免爆int
			while(n%i==0) n/=i; 
		}
		if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

方法二：利用埃拉托斯特尼筛求解一段数的欧拉函数值

当需要求解一段连续的几十万个数的欧拉函数时，使用第一种方法基本上就TLE了，我们利用埃氏筛在用素数p筛除其他数的同时，计算p对每一个被筛的数欧拉函数的贡献，复杂度是 $\Theta(nloglogn)$ 。
模板题：HDU2824

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
using namespace std;
const int inf=1e9+10,N=3e6+100;
int a,b,phi[N+1];
bool prime[N+1];//false为素数，true为合数。 
long long ans;
inline void Eratos_to_Euler(){
	rep(i,2,N) phi[i]=i;
	rep(i,2,N)
		if(prime[i]==false){
			prime[i]=i-1;
			for(int j=i;j<=N;j+=i) phi[j]=phi[j]/i*(i-1),prime[j]=true;
		}
}
int main(){
	Eratos_to_Euler();
	while(scanf("%d%d",&a,&b)==2){
		long long ans=0;
		rep(i,a,b) ans+=phi[i];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

方法三：利用欧拉筛求解一段数的欧拉函数值

同样也是在筛除其他数的同时算出被筛数的欧拉函数，但并不是像埃氏筛那样子使用每一个素数计算对被筛数的贡献——那样复杂度是 $\Theta(nloglogn)$ 的。而是通过欧拉函数的性质（也可以理解是通项）来推出被筛数的欧拉函数。具体如下：
在欧拉筛中，当 $p_{j}$ 整除 $i$ 时， $\varphi(p_{j}*i)=\varphi(i)*p_{j}$
否则 $\varphi(p_{j}*i)=\varphi(i)*(p_{j}-1)$ 。
证明：
以下是一种我认为相当直观好理解的证明方法（自己想到的）：
1.当 $p_{j}$ 整除 $i$ 时，也就是 $i$ 含有 $p_{j}$ 这个素因子，那么被筛数 $a=i*p_{j}$ 的不同的素因子个数完全没有改变，在欧拉函数的通项公式中：
$\varphi(x)=x\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$
我们可以知道 $a$ 与 $i$ 的 $\prod_{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_{i}})$ 这一部分是一模一样的。因此 $\varphi(a)$ 的值与 $\varphi(i)$ 的值区别只在于 $x$ ，而 $a=i*p_{j}$ ，所以差的是一个 $p_{j}$ ，因此当 $p_{j}$ 整除 $i$ 时， $\varphi(p_{j}*i)=\varphi(i)*p_{j}$ 。

2.根据同样的思路，当 $p_{j}$ 不整除 $i$ 时，也就是 $i$ 不含有 $p_{j}$ 这个素因子。
那么被筛数 $a=i*p_{j}$ 的不同的素因子个数只改变增加了一个，那就是 $p_{j}$ .
因此在 $\varphi(a)=\varphi(i)*p_{j}$ 的基础上，还要再乘上一个值，那就是 $\frac{p_{j}-1}{p_{j}}$ .
即 $\varphi(a)=\varphi(i)*p_{j}*\frac{p_{j}-1}{p_{j}}=\varphi(i)*(p_{j}-1)$ 。证毕。

复杂度 $\Theta(n)$ 。
模板题同上：

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=1e9+10,N=3e6+100;
int a,b,phi[N+1],v[N],prime[N],len;
inline void Euler_to_Euler(){
	rep(i,2,N){
		if(v[i]==0){
			v[i]=i;
			phi[i]=i-1;
			prime[++len]=i;
		}
		rep(j,1,len){
			if(prime[j]>N/i||prime[j]>v[i]) break;
			//最好写成 prime[j]>N/i，而不是i*prime[j]>N，避免爆int。
			v[i*prime[j]]=prime[j];//筛 
			if(i%prime[j]==0) phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//计算欧拉函数 
				else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}
int main(){
	Euler_to_Euler();
	while(scanf("%d%d",&a,&b)==2){
		long long ans=0;
		rep(i,a,b) ans+=phi[i];
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}

例题留坑待填···