(PPT上有严谨的定义，下文还有清晰的证明
on 2020.1 by li'ao
摘自PPT：
积性函数
(其中 Def 是 定义 的意思
(注意，要互质才行！
欧拉函数
（其中 Def 表示 “定义”）
通项公式：
(其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数)
当p是素数时，
易由通项公式变形得来
现证通项公式
由积性函数的性质：
若（a,b)=1,则\(\phi(a*b) = \phi(a) * \phi(b)\)
对于\(\phi(n)\),标准分解，\(\phi（n) = \phi(p_1^{\alpha_1} * p_2^{\alpha_2} * p_3 ^ {\alpha_3} * ... * p_k ^ {\alpha_k})\),
按照积性函数的性质，上式等于：
\[\phi（n) = \phi(p_1^{\alpha_1}） * \phi(p_2^{\alpha_2}) * \phi(p_3 ^ {\alpha_3}) * ... * \phi(p_k ^ {\alpha_k})\]
以下证明\(\phi(p^\alpha) = p^\alpha - p^{\alpha - 1}\)
因为p是质数，所以不与p互质的数都是p的倍数，在1~ \(p^\alpha\) 中，\(p\) 的倍数有\(p, 2 * p, 3 * p...(p ^ {\alpha - 1}） * p\)
共\(p ^ {\alpha - 1} 个\)
所以在1 ~ \(p ^ \alpha\)中，共有 \(p ^ \alpha - p ^ {\alpha - 1}\)个数与p互质，
所以在1 ~ \(p ^ {\alpha} - 1\)中，也有 \(p ^ \alpha - p ^ {\alpha - 1}\)个数与p互质
所以\(\phi(p ^ \alpha) = p ^ \alpha * ( 1 - \frac{1}{p})\)
易知\(\phi(n) = \phi(p_1^{\alpha_1}） * \phi(p_2^{\alpha_2}) * \phi(p_3^{\alpha_3}) * ... * \phi(p_k^{\alpha_k} ) = （p_1 ^ {\alpha_1} * p_2 ^ {\alpha_2} * ... *p_k ^ {\alpha_k}） * （1 - \frac{1}{p_1}) * (1 - \frac{1}{p_2}) ... * (1 - \frac{1}{p_k})\)
得证。
线性求欧拉函数
性质
1.若p是素数，则\(\phi(p) = p - 1\)
2.(对于质数p和任意正整数i）若(i,p) = 1, 则\(\phi(i * p) = \phi(i) * （p - 1)\)
3.(对于质数p和任意正整数i）若i, p 不互质，则\(\phi(i * p) = \phi(i) * p\)
（1,2都易知的啦
第三条性质证明
若 n 和 i 不互质，则 （n + i ) 和 i 不互质....................................................1)
[1,i]中，与i不互质的数的个数为: \(i - \phi(i)\)
(由1）得)对于其中任意一个与i不互质的整数n, n + i 和 i 也不互质， 对于其中任意一个与i互质的数， 它加上i 还是与i 互质，所以：在[1 + i, i + i]中，与i不互质的数的个数还是
\[i - \phi(i)\]
对于一个素数p,前提条件，前提条件：i % p == 0,因为p是质数，所以i 是 p 的倍数(前提条件！
如此累加p个i，（其中p是素数），则在[1,p * i]中，与i 不互质的数的个数为
\[p(i - \phi(i)) = p * i - p * \phi(i)\]
.....................................................................................................................2)
(稍微解释一下，就是对于任意k属于[0,p - 1],都有:在[1 + i * k, i + i * k]中与i不互质的数的个数为\(i - \phi(i)\))
另一方面，[1, p * i]中与i * p不互质的数的个数为 \(p * i - \phi(p * i)\)..................3)
既然i是p的倍数，那么 2)式 等于 3）式
（解释一下：令i = p * k, i * p = k * p * p,
所以i 和 p * i 没有不同的因数
那么在[1, i * p]中，所有与k * p有公因数的数，必定也和 k * p * p 有公因数，即对于i 和 i * p, 在[1, i * p]中， 与他俩不互质的数的个数相等
\[2） = 3）\]
\[p * i - p * \phi(i) = p * i - \phi(p * i)\]
\[\phi(p * i) = p * \phi（i）\]
得证。
代码实现
没错，就是根据3条性质来写代码
const int N = 300010;
int n, phi[N], pri[N], not_pri[N], top;
//这个函数是在线性欧拉素数筛的基础上写的，新加的东西只有 3行，（如果还不会线性素数筛，那就先看线性素数筛的模板
void Phi(int n){
not_pri[1] = 1;
F(i,2,n){
if(!not_pri[i]){
pri[++top] = i;
phi[i] = i - 1;//QWQ1
//i是素数，用到性质1
}
for(int j = 1; i * pri[j] <= n; j++){
not_pri[i * pri[j]] = 1;
if(i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j]- 1);//QWQ2
//因为pri[j]是素数，所以如果i % pri[j] != 0, 即i 是 pri[j] 的倍数， 那么i 和 pri[j] 就互质，用性质2
else{
phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];//QWQ3
//如果i 和 pri[j]不互质，用到性质3
break;
}
}
}
}
int main(){
cin >> n;
Phi(n);
F(i,1,n) cout << phi[i] << " ";
return 0;
}推送题目：洛谷P2158