代数不等式与超越不等式

前言

超越不等式

如果不等式的两边至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式。如\(2^x>x-1\)，包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

备注：代数函数¹；超越函数²；代数不等式³；

超越不等式求解思路

例1 求解关于\(x\)的不等式\((2^x)-3\cdot 2^x+2<0\)；

例2 求解关于\(x\)的不等式 \(2^x\geqslant 2-x\)

例3 求解关于\(x\)的不等式 \(e^x>=x+1\)

零点存在性定理

---

1. 代数函数
   变量之间的关系是用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如\(y=x^3+2x^2\)\(-x+1\)，\(y=\sqrt{x-3}\)等；↩

2. 超越函数
   是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数\(y=log_2^x\)，反三角函数如\(y=arcsinx\)，指数函数如\(y=2^x\)，三角函数如\(y=sinx\)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。↩

3. 代数不等式
   不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式，如\(\cfrac{2}{x-1}>2x+1\)；可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；↩