\(\fbox{例1}\)【2017宝中训练题】
若点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，则下列不等式正确的是（）。
A、\(a^2+b^2\leq 1\) \(\hspace{2cm}\) B、\(a^2+b^2\ge 1\) \(\hspace{2cm}\) C、\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\leq 1\) \(\hspace{2cm}\) D、 \(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)
法1：三角函数的有界性，由于点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，则有\(bcos\theta+asin\theta=ab\)，即\(\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)=ab，tan\phi=\cfrac{b}{a}\)，由三角函数的有界性可知\(|sin(\theta+\phi)|=|\cfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1\)，即\(\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\ge 1\)，即\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选D.
法2：数形结合，由已知可知点\(P\)在单位圆上，自己做出大致图像可知，直线和圆的位置关系只能是相切和相交，故圆心\((0，0)\)到直线\(bx+ay-ab=0\)的距离应该小于等于半径1，即\(\cfrac{|b\cdot 0+a\cdot 0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\)，化简得\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选D.
\(\fbox{例2}\)
\(a>b>1\)是\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)的(充分不必要)条件。
法1：常规用做差法，由已知可知\(ab-1>0，aa-b>0\)，\(a+\cfrac{1}{a}-b-\cfrac{1}{b}=a-b-\cfrac{a-b}{ab}=(a-b)\cfrac{ab-1}{ab}>0\)，即\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)，故充分性成立；当\(a=\cfrac{1}{4}，b=\cfrac{1}{2}\)时，满足\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)，但不能得到\(a>b>1\)，故必要性不成立。
法2：巧解构造函数法，令\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)，则原题目变形为\(a>b>1\)是\(f(a)>f(b)\)的什么条件，结合对勾函数的图像很容易判断。
\(\fbox{例3}\)
已知\(x^2+y^2\leq 1\)，求\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\)的最小值？
思路一：从形入手思考，转化为点线距；
我们发现\(|2x+y-2|+|x+3y-6|=\sqrt{5}\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}+\sqrt{10}\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)，
其中表达式\(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\)和\(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)分别表示圆内及圆上的动点
到两条直线的距离，所以可以把“数”的问题转化为“形”的问题。
思路二：三角代换，令\(x=R\cos\theta，y=R\sin\theta，R\in[0，1]\)，
则\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\ge|3R\cos\theta+4R\sin\theta-8|=|5R\sin(\theta+\phi)-8|\)
\(\fbox{例4}\)【分子有理化、分母有理化】
已知\(a=\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}\)，比较\(a、b、c\)的大小。
分析：\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\)；
\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)；
由于\(\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{6}+\sqrt{2}\)，故\(\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}<\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)，
即\(b<c\)，
又\(\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}+2>4\)，故\(\sqrt{2}>\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)，
即\(c<a\)，故\(b<c<a\)；
\(\fbox{例5}\)【】
在锐角\(\Delta ABC\)中，内角\(A、B、C\)的对边分别是\(a、b、c\)，且满足\((a-b)(sinA+sinB)=(c-b)sinC\)，若\(a=\sqrt{3}\)，则\(b^2+c^2\)的取值范围是【】
\(A.(3，6]\). \(B.(3，5)\). \(C.(5，6]\). \(D.[5，6]\).
【法1】不等式法，
【法2】三角函数法，由已知和正弦定理可知，
\((a-b)(a+b)=(c-b)c\)，即\(bc=b^2+c^2-a^2\)，
故\(cosA=\cfrac{1}{2}\)，由\(A\in (0，\pi)\)，可知\(a=\cfrac{\pi}{3}\)。