Holder不等式

Holder不等式是一种用来衡量向量空间中的内积的不等式。它被广泛用于分析、概率论和其他数学领域。

对于两个向量空间中的向量$x$和$y$，Holder不等式如下：

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_q$$

其中 (p) 和 (q) 是满足以下条件的实数：

1. $p$和 $q$ 是倒数关系，即 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$。
2. $p$ 和 $q$大于等于 $1$。

在这个不等式中，$⟨x,y⟩$表示向量 $x$ 和$y$ 的内积，$\Vert x{\Vert }_p$和 $\Vert y{\Vert }_q$ 分别表示 $x$ 和 $y$ 的 $p$范数和$q$范数。

Holder不等式的重要性在于它提供了一种限制内积的方式，将内积的绝对值控制在向量范数的乘积范围内。这个不等式在分析、泛函分析、概率论等领域有着广泛的应用，它也是其他更复杂不等式的基础。

当 $p=q=2$时，Holder不等式可以简化为柯西-施瓦茨不等式。

考虑两个实数序列 x = { x 1 , x 2 , … , x n } x = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} x={ x1​,x2​,…,xn​}和 y = { y 1 , y 2 , … , y n } y = \{y_1, y_2, \dots, y_n\} y={ y1​,y2​,…,yn​}，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：

$${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)$$

这里，$x_i$ 和 $y_i$ 是实数序列$x$和$y$的元素。

这个不等式表明，两个向量内积的绝对值的平方不会超过两个向量分别范数的乘积。这意味着向量之间的相关性或夹角不能超过各自向量大小的乘积。

例如，考虑向量 x = { 1 , 2 , 3 } x = \{1, 2, 3\} x={ 1,2,3}和 y = { 4 , 5 , 6 } y = \{4, 5, 6\} y={ 4,5,6}，使用柯西-施瓦茨不等式可以得到：

$(1\times 4+2\times 5+3\times 6{)}^2\le (1^2+2^2+3^2)\times (4^2+5^2+6^2)$
$(4+10+18{)}^2\le (14)\times (77)$
$32^2\le 1078$
$1024\le 1078$

这个例子符合柯西-施瓦茨不等式。