双联不等式

前言

相关概念

形如\(2<2x+1<3\)的不等式，我们就称之为双联不等式。

求解双联不等式的的方法一，利用不等式的性质求解，给双联不等式的左、中、右同时减去\(1\)，得到\(1<2x<2\)，然后同时除以\(2\)，得到\(\cfrac{1}{2}<x<1\)；方法二，转化为不等式组求解，如\(\left\{\begin{array}{l}{2<2x+1}\\{2x+1<3.}\end{array}\right.\)

典例剖析

例8 【整体思想】解不等式\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，

法1：原不等式等价于\(\left\{\begin{array}{l}{0<\cfrac{1+lga}{1-lga}①}\\{\cfrac{1+lga}{1-lga}<1②}\end{array}\right.\)

解①\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}\)，由穿根法得到\(\cfrac{1+lga}{lga-1}<0\)，故\(-1<lga<1\)③，

解②\(\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，变形得到\(\cfrac{2lga}{lga-1}>0\)，由穿根法得到\(lga<0\)或\(lga>1\)④，

故由③④求交集得到\(-1<lga<0\)，解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)。

法2：看到双联不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，得到\(0<\cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1\)，即\(0<-1+\cfrac{2}{1-lga}<1\)，故\(1<\cfrac{2}{1-lga}<2\)，且能得到\(1-lga>0\)，

故利用倒数法则得到\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1-lga}{2}<1\)，即\(1<1-lga<2\)，即\(-2<lga-1<-1\)，即\(-1<lga<0\)，解得解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)，故选\(C\).