1、柯西不等式
\[(\sum_{i=1}^na_ib_i)^2\leqslant\sum_{i=1}^na_i^2\sum_{i=1}^nb_i^2\]
取等条件：
\[\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}\]
2、均值不等式
\[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geqslant\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\geqslant\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\]
推广：
\[\sqrt[2]{\frac{\sum_{i=1}^na_i^2}{n}}\geqslant\frac{\sum_{i=1}^na_i}{n}\geqslant\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\geqslant\frac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\]
先决条件：
\[a_1,a_2,...,a_n\geqslant0\]
取等条件：
\[a_1=a_2=...=a_n\]
3、绝对值不等式
\[\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leqslant\left|a±b\right|\leqslant\left|a\right|+\left|b\right|\]
取等条件：
\[|a-b|=|a|+|b|\ \ ab≤0\]
\[|a|-|b|=|a+b|\ \ b(a+b)≤0\]
\[|a|-|b|=|a-b|\ \ b(a-b)≥0\]