P1082 同余方程 欧几里德与扩展欧几里德算法

P1082 同余方程

题目描述

求关于 xx 的同余方程 a x \equiv 1 \pmod {b}ax≡1(modb) 的最小正整数解。

输入输出格式

输入格式：

一行，包含两个正整数 a,ba,b ，用一个空格隔开。

输出格式：

一个正整数 x_0x0​ ，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入样例#1：  复制

3 10

输出样例#1：  复制

7

说明

【数据范围】

对于 40%的数据， 2 ≤b≤ 1,0002≤b≤1,000 ；

扫描二维码关注公众号，回复： 2216518 查看本文章

对于 60%的数据， 2 ≤b≤ 50,000,0002≤b≤50,000,000 ；

对于 100%的数据， 2 ≤a, b≤ 2,000,000,0002≤a,b≤2,000,000,000 。

NOIP 2012 提高组 第二天 第一题

扩展欧几里得

关于他的证明及扩展，推荐几篇博文：

欧几里德与扩展欧几里德算法，Exgcd

 

| 扩展 GCD
| 求x, y 使得gcd(a, b) = a * x + b * y;

 

题目大意：求出最小的x，使得x*a%b=0

同余符号含义≡：两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。

 

自己推导：

　　(a*x)%b==1%b

==> (a*x-1)%b==0

==> a*x==k*b+1 (k∈Z)

==> a*x-k*b==1

==> a*x-k*b==gcd(a,b)

 

代码：（扩展欧几里得模板）

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int extgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){x=1;y=0;return a;}
	int d=extgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
	return d;
}

int a,b,x,y;

int main()
{
	cin>>a>>b;
	extgcd(a,b,x,y);
	cout<<(x+b)%b;
	return 0;
}