题目：
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1082
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
void exgcd(LL &x,LL &y,int a,int b)//扩展欧几里得算法
{
if(b == 0){
x = 1;
y = 0;
return;
}
exgcd(x,y,b,a % b);
int temp = x;
x = y;
y = temp - a / b * y;
return;
}
int main()
{
int a,b;
LL x,y;
cin >> a >> b;
exgcd(x,y,a,b);
while(x < 0) x += b;//得到最小的正整数x
x %= b;
cout << x << endl;
return 0;
}
题意：
已知a,b的值且ax≡1(modb)，求x最小的正整数的解。
思路：
今天刚刚学了扩展欧几里得算法，就来做这道模板题了。
先来介绍一下什么是扩展欧几里得算法：
现在有方程：ax + by = c,现在要让你求方程的解x和y。
如果方程是有解的c % gcd(a,b)一定是为0的。（这里就不证明了）
假设现在有方程ax1 + by1 = gcd(a,b)
又因为gcd(a,b) = gcd(b,a % b)
且bx2 + (a % b) * y2 = gcd(b,a % b)
上面三式联立可得：bx2 + (a % b) * y2 = ax1 + by1
又因为a % b = a - (a / b) * b,然后代入上式得:
bx2 + [a - (a / b) * b] * y2 = ax1 + by1;
化简得：ay2 + (x2 - (a / b) * y2) * b = ax1 + by1
可以得出x1 = y2 y1 = x2 - (a / b) * y2
现在来考虑一下特殊情况，当b == 0时带入原式 ax + by = gcd(a,b)
得：ax = a ==》 x = 1,y = 0
到目前位置扩展欧几里得的算法就已经证完了，现在我们考虑该如何实现这一算法呢？
我们要知道x1，y1,那么就一定要知道y2,x2。就这样一步步推导，那我们可以知道，当b = 0的时候会产生一组特解，这也就是终止条件了。整个过程我们用递归实现，这个和普通的gcd实现过程十分相似，只不过添加了一些对于x，y的转换。
好了，那么再回到这道题上。知道a,b且知道ax ≡ 1(modb)。我们知道ax ≡ 1(modb)(这叫做ax和1在b下同余，不清楚可以百度同余)可以推出ax + by = 1，现在让你求x的最小正解。如果该方程有解那么gcd(a,b) = 1，也就是说a，b互质。现在用扩展欧几里得定理可以求出x的其中一组可行解，但是这个解不是最小的正整数解，为了能得到最小的正整数解，我们可以对x % b，如果x < 0,我们还需要每次把x都加上b直到x大于0，然后再%b。为何要这样做呢？下面我来稍微证明一下把！
因为ax + by = 1 ==》 y = (ax - 1) / b，因为得出的解x，y都是正数所以b是ax - 1的因子，也就是说ax - 1是b的倍数。如果现在x变化了b。可以推导出ax - 1依旧是b的倍数，这是y可以产生一个新的解。
那么如果x没有变化b呢？因为a,b互质，ax - 1就不是b的倍数了，这时候y就不会是一个整数了。所以算出一个x的值，如果x < 0，我们需要每次累加b，直到x > 0。如果x >= 0那么先不管它，最后都需要 % b。
刚开始学扩展欧几里得算法，证明也是看网上的，看了很久。如果写错的地方欢迎大家在下方留言。。。。