机器学习练习 1 - 线性回归
单变量线性回归
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
path = 'ex1data1.txt'
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()
| Population | Profit | |
|---|---|---|
| 0 | 6.1101 | 17.5920 |
| 1 | 5.5277 | 9.1302 |
| 2 | 8.5186 | 13.6620 |
| 3 | 7.0032 | 11.8540 |
| 4 | 5.8598 | 6.8233 |
data.describe()
| Population | Profit | |
|---|---|---|
| count | 97.000000 | 97.000000 |
| mean | 8.159800 | 5.839135 |
| std | 3.869884 | 5.510262 |
| min | 5.026900 | -2.680700 |
| 25% | 5.707700 | 1.986900 |
| 50% | 6.589400 | 4.562300 |
| 75% | 8.578100 | 7.046700 |
| max | 22.203000 | 24.147000 |
看下数据长什么样子
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(12,8))
plt.show()
现在让我们使用梯度下降来实现线性回归，以最小化成本函数。 以下代码示例中实现的方程在“练习”文件夹中的“ex1.pdf”中有详细说明。
首先，我们将创建一个以参数θ为特征函数的代价函数
其中：\[{{h}{\theta }}\left( x \right)={{\theta }^{T}}X={{\theta }{0}}{{x}{0}}+{{\theta }{1}}{{x}{1}}+{{\theta }{2}}{{x}{2}}+…+{{\theta }{n}}{{x}_{n}}\]
def computeCost(X, y, theta):
inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)
return np.sum(inner) / (2 * len(X))
让我们在训练集中添加一列，以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。
data.insert(0, 'Ones', 1)
现在我们来做一些变量初始化。
# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,0:cols-1]#X是所有行，去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:cols]#X是所有行，最后一列
观察下 X (训练集) and y (目标变量)是否正确.
X.head()#head()是观察前5行
| Ones | Population | |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 6.1101 |
| 1 | 1 | 5.5277 |
| 2 | 1 | 8.5186 |
| 3 | 1 | 7.0032 |
| 4 | 1 | 5.8598 |
y.head()
| Profit | |
|---|---|
| 0 | 17.5920 |
| 1 | 9.1302 |
| 2 | 13.6620 |
| 3 | 11.8540 |
| 4 | 6.8233 |
代价函数是应该是numpy矩阵，所以我们需要转换X和Y，然后才能使用它们。 我们还需要初始化theta。
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0]))
theta 是一个(1,2)矩阵
theta
matrix([[0, 0]])
看下维度
X.shape, theta.shape, y.shape
((97, 2), (1, 2), (97, 1))
计算代价函数 (theta初始值为0).
computeCost(X, y, theta)
32.072733877455676
batch gradient decent（批量梯度下降）
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
parameters = int(theta.ravel().shape[1])
cost = np.zeros(iters)
for i in range(iters):
error = (X * theta.T) - y
for j in range(parameters):
term = np.multiply(error, X[:,j])
temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
theta = temp
cost[i] = computeCost(X, y, theta)
return theta, cost
初始化一些附加变量 - 学习速率α和要执行的迭代次数。
alpha = 0.01
iters = 1000
现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数θ适合于训练集。
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g
matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])
最后，我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数（误差）。
computeCost(X, y, g)
4.5159555030789118
现在我们来绘制线性模型以及数据，直观地看出它的拟合。
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量，所以我们也可以绘制。 请注意，代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
多变量线性回归
练习1还包括一个房屋价格数据集，其中有2个变量（房子的大小，卧室的数量）和目标（房子的价格）。 我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。
path = 'ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()
| Size | Bedrooms | Price | |
|---|---|---|---|
| 0 | 2104 | 3 | 399900 |
| 1 | 1600 | 3 | 329900 |
| 2 | 2400 | 3 | 369000 |
| 3 | 1416 | 2 | 232000 |
| 4 | 3000 | 4 | 539900 |
对于此任务，我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。 这个对于pandas来说很简单
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()
| Size | Bedrooms | Price | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.130010 | -0.223675 | 0.475747 |
| 1 | -0.504190 | -0.223675 | -0.084074 |
| 2 | 0.502476 | -0.223675 | 0.228626 |
| 3 | -0.735723 | -1.537767 | -0.867025 |
| 4 | 1.257476 | 1.090417 | 1.595389 |
现在我们重复第1部分的预处理步骤，并对新数据集运行线性回归程序。
# add ones column
data2.insert(0, 'Ones', 1)
# set X (training data) and y (target variable)
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]
# convert to matrices and initialize theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))
# perform linear regression on the data set
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)
# get the cost (error) of the model
computeCost(X2, y2, g2)
0.13070336960771892
我们也可以快速查看这一个的训练进程。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
我们也可以使用scikit-learn的线性回归函数，而不是从头开始实现这些算法。 我们将scikit-learn的线性回归算法应用于第1部分的数据，并看看它的表现。
from sklearn import linear_model
model = linear_model.LinearRegression()
model.fit(X, y)
LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
scikit-learn model的预测表现
x = np.array(X[:, 1].A1)
f = model.predict(X).flatten()
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
4. normal equation（正规方程）
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的：
。
假设我们的训练集特征矩阵为 X（包含了
）并且我们的训练集结果为向量 y，则利用正规方程解出向量
。
上标T代表矩阵转置，上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵
，则：
梯度下降与正规方程的比较：
梯度下降：需要选择学习率α，需要多次迭代，当特征数量n大时也能较好适用，适用于各种类型的模型
正规方程：不需要选择学习率α，一次计算得出，需要计算 ，如果特征数量n较大则运算代价大，因为矩阵逆的计算时间复杂度为 ，通常来说当 小于10000 时还是可以接受的，只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型
# 正规方程
def normalEqn(X, y):
theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
return theta
final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2
matrix([[-3.89578088],
[ 1.19303364]])
#梯度下降得到的结果是matrix([[-3.24140214, 1.1272942 ]])
在练习2中，我们将看看分类问题的逻辑回归。