经典的机器学习二分类算法——Logistic回归

问题描述

对于维度为$m+1$特征为$x$样本的二分类问题，有负类（Negative Class）记为$0$，正类（Positive Class）记为$1$，即对于类别$y$，有

$$y\in\{0,1\}.$$
我们期望找到一个 $h_\theta(x)$，使得
$$0 \leqslant h_\theta(x)\leqslant 1 .$$
其中， $\theta$为待优化的参数，使得在对未知类别的样本 $x_0$分类时，
$h_\theta(x_0)$为样本为正类的概率。即分类准则如下：
$$y_0=\begin{cases} 0, & \text{if } h_\theta(x_0) <0.5;\\ 1, & \text{if } h_\theta(x_0) \ge 0.5. \end{cases}$$

Logistic回归

在线性回归（Linear Regression）中，我们常找一组参数

$$\theta= \begin{pmatrix} \theta_0 \\ \theta_1 \\ ... \\ \theta_m \end{pmatrix}$$
计算
$$f(x)=\theta^\mathrm{T}x.$$
设置阈值 $T$，通过 $f(x)$与 $T$的大小关系判断正负类。
而在Logistic回归中，我们引入Sigmoid函数
$$g(z)=\frac{1}{1+e^ {-z}}.$$
其图像如下

Logistic回归取hypothesis function为
$$\begin{align*} h_\theta(x) &= g(\theta^\mathrm{T}x)\\ &= \frac{1}{1+e^{\theta^\mathrm{T}x}}\\ &= p(y=1|x;\theta) \\ &= p(y=0|x;\theta). \end{align*}$$
即 $h_\theta(x)$等价于正类的概率，由Sigmoid函数图像可知，当 $\theta^\mathrm{T}x\ge0$时，判定为正类，当 $\theta^\mathrm{T}x<0$时，判定为负类。

代价函数（cost function）

与线性回归问题类似，Logistic同样需要定义代价函数使用梯度下降法优化参数
由于Sigmoid函数的使用，若使用与线性回归相同的二次损失函数，优化问题将变为非凸问题，即可能存在很多局部最优解。Logistic回归采用以下损失函数

$$cost(h_\theta(x),y)= \begin{cases} -\log(h_\theta(x)), &\text{if } y=1; \\ -\log(1-h_\theta(x)), &\text{if } y=0. \end{cases}$$
为了方便计算，将分段损失函数改写为如下形式
$$cost(h_\theta(x),y)=-y\log(h_\theta(x))-(1-y)\log(1-h_\theta(x)).$$

优化目标

对于样本数目为$n$的训练集，定义目标函数为

$$\begin{align*} J(\theta) &=\frac1n \sum_{i=1}^n cost(h_\theta(x^{(i)}),y^{(i)})\\ &= -\frac1n \left[\sum_{i=1}^n y^{(i)}\log(h_\theta (x^{(i)})+(1-y^{(i)})\log(1- h_\theta (x^{(i)})\right] \end{align*}$$
优化目标为：找到令 $J(\theta)$最小的 $\theta$.

算法描述

$want$ :

$$min_\theta J(\theta)$$
$Repeat$
$$\theta_j: = \theta_j - \alpha \frac{\partial J(\theta)}{\theta_j},j=0,...,m.$$
其中， $\alpha$为梯度下降法的学习率.

优化算法列举

1）Gradient descent
2）Conjugate gradient
3）BFGS
4）L-BFGS

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利用Octave实现Logistic回归

Octave是一种高层解释类编程语言，旨在解决线性和非线性的数值计算问题。Octave为GNU项目下的开源软件，早期版本为命令行交互方式，4.0.0版本发布基于QT编写的GUI交互界面。Octave语法与Matlab语法非常接近，可以很容易的将matlab程序移植到Octave。同时与C++,QT等接口较Matlab更加方便。
注：Octave与Matlab语法类似，下标从1开始。
例子：

$$\theta= \begin{pmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \end{pmatrix}$$
$$J(\theta)=(\theta_1-1)^2+(\theta_2-1)^2$$
$$\frac{\partial J(\theta)}{\theta_1}=2(\theta_1-1)$$
$$\frac{\partial J(\theta)}{\theta_2}=2(\theta_2-1)$$
代码：
定义函数，给出优化目标及对应的梯度，初始化梯度

    function [jVal, gradient] = costFunction(theta)
      jVal = (theta(1)-1)^2 + (theta(2)-1)^2;
      gradient = zeros(2,1)
      gradient(1) = 2 * (theta(1)-1);
      gradient(2) = 2 * (theta(2)-1);
    endfunction

设定option,设置梯度目标参数为打开，最大迭代次数为100，并初始化$\theta$.

options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter','100')
initialTheta = zeros(2,1)

调用fminunc这个函数，传入三个参数，其中第一个参数@costFunction这里的@符号代表指向之前我们定义的costFunction函数的指针。后面两个参数分别是我们定义的thetatheta初始值和配置信息options。它会自动的从众多高级优化算法中挑选一个来使用。

[optTheta, functionVal, exitFlag]=...
fminunc(@costFunction, initialTheta, options)

输出结果

即$\theta_1=1$,$\theta_2=1$，$exitFlag=1$表明已经收敛.

注：本文内容为网易云课堂吴恩达机器学习视频学习时的记录的笔记，仅做学习使用，笔者对OCTAVE首次接触，仅仅实现了课堂上的例子。如有错误，欢迎联系笔者。