欧拉函数[caioj1158]

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$1$~ $N$中与 $N$互质的数的个数被成为欧拉函数，记为 $\varphi(N)$。
在算数基本定理中, $N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}...p_m^{c_m}(\forall p_i皆为质数)$则：
$\varphi(N)=N*(\frac{p_1-1}{p1})*(\frac{p_2-1}{p2})*......*(\frac{p_m-1}{pm})=N*\prod_{质数 p|N}(1-\frac{1}{p})$
证明：设 $p,q$是 $N$的质因子，则 $1$~ $N$中p，q的倍数为 $p,2p,3p,.......,N/p,q,2q,3q,......,N/q(pq的倍数被筛了2遍)$
共有 $N/p+N/q-N/pq$个(由算数基本定理可知， $pq$一定 $≤N$)，则 $1$~ $N$中不与 $N$含有共同质因子 $p$或 $q$的数的个数为：
$N-(\frac{N}{p})-(\frac{N}{q})+(\frac{N}{pq})=N*(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq})=N(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})$
推广到多种情况(全部质因子)，用数学归纳法证明即可。
证毕。
欧拉函数性质

1. $\forall n>1,1$~ $n$中与n互质的数的和为 $n/2*\varphi(n)$
   证明: $\because 与n互质的x，gcd(n,x)=gcd(n,n-x)，\therefore 与n互质的x，n-x成对出现，平均值为n/2.因此与n互质的数的平均值也为n/2，证毕。$

2. 若a,b互质，则 $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$
   证明: $\because \varphi(a)=a*\prod_{质数p|a}(1-\frac{1}{p}),\varphi(b)=b*\prod_{质数p|b}(1-\frac{1}{p}),\varphi(ab)=ab*\prod_{质数p|ab}(1-\frac{1}{p})=ab*\prod_{质数p|a}(1-\frac{1}{p})*\prod_{质数 p|b}(1-\frac{1}{p}),由于两数互质，无公共质因子。证毕。$
   依照性质2，可得积性函数。

3. 若 $f$是积性函数，且在算术基本定理中 $n=\prod_{i=1}^{m}p_i^{c{i}}$，根据积性函数定义式可得。

4. 若 $p\mid n$且 $p^2\mid n$,则 $\varphi(n)=\varphi(n/p)*p$
   证明: $\varphi(n)=n*\prod_{质数w\mid n}(1-\frac{1}{w})=(n/p)*\prod_{质数 w\mid n/p}(1-\frac{1}{w})*p=\varphi(n/p)*p$，由于 $n/p$与 $n$所含质因子相同，只是 $p$的指数不同罢了，所以等式成立。

5. 若 $p是质数,p\mid n$且 $p^2\nmid n$,则 $\varphi(n)=\varphi(n/p)*(p-1)$
   证明: $\because n/p与p互质，则\varphi(n)=\varphi(n/p)*\varphi(p)=\varphi(n/p)*(p-1)$

6. $\sum_{d \mid n}\varphi(d)=n$
   证明: $设f(n)=\sum_{d \mid n}\varphi(d),f(m)=\sum_{d \mid m}\varphi(d)$, $若n,m互质，\varphi是积性函数$， $f(nm)=\sum_{d \mid nm}\varphi(d)=\sum_{d \mid n}\varphi(d)*\sum_{d \mid m}\varphi(d)=f(n)*f(m)$, $即\sum_{d \mid n}\varphi(d)是积性函数，对于单个质因子，f(p^{m})=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+......+\varphi(p^m)$根据性质4，我们可以发现 $f(p^m)$为等比数列求和+1,即 $f(p^m)=1+(\frac{p-1-(p-1)*{p^m}}{1-p})=p^m.$所以 $f(n)=\prod_{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})=\prod_{i=1}^{m}p_i^{c_i}=n$性质6成立.

题目描述

$\varphi(x)$表示小于或等于x的正整数中与n互质的数的数目。。
有n次询问，每次问 $\varphi(x)$的值。
【输入格式】
第一行 $n$( $1<=n<=10000$)
下来n行，每行一个整数x，表示求 $\varphi(x)$。( $1<=x<=2000 0000$)
【输出格式】
每次询问输出一行一个整数 $\varphi(x)$。
【样例输入】
3
10
20
100
【样例输出】
4
8
40

代码

1.运用性质4、5

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1270608;
const int M=2e7+10;
const int inf=2e7;
int prime[N],phi[M],m;
bool v[M];
void g_p()
{
    m=0;
    memset(v,true,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=inf;i++)
    {
        if(v[i])prime[++m]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=m&&i*prime[j]<=inf;j++)
        {
            v[i*prime[j]]=false;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
                break;
            }
            else
            {
                phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
            }
        }
    }
}
int main()
{
    g_p();int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        printf("%d\n",phi[x]);
    }
    return 0;
}

2.运用欧拉函数定理

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
using namespace std;
const int N=2e7+10;
int a[N];
inline int solve(int x)
{
	int d=x,dd=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			d=d/i*(i-1);
			while(!(x%i))
			{
				x/=i;
			}
		}
	}
	int last=0;
	if(x>1)d=d/x*(x-1);a[dd]=d;
	return d;
}
int main()
{
	int n;scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;scanf("%d",&x);
		printf("%d\n",!a[x-1]?solve(x-1):a[x-1]);
	}
	return 0;
}