动态规划法求解0/1背包问题 C语言

0/1背包问题是给定n个重量为{w₁, w₂, … ,w_n}、价值为{v₁, v₂, … ,v_n}的物品和一个容量为C的背包，求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。

在0/1背包问题中，物品i或者被装入背包，或者不被装入背包，设x_i表示物品i装入背包的情况，则当x_i=0时，表示物品i没有被装入背包，x_i=1时，表示物品i被装入背包。0/1背包问题可以看作是决策一个序列(x₁, x₂, …, x_n)，对任一变量x_i的决策是决定x_i=1还是x_i=0。在对x_i_-1决策后，已确定了(x₁, …, x_i_-1)，在决策x_i时，问题处于下列两种状态之一：（1）背包容量不足以装入物品i，则x_i=0，背包不增加价值；（2）背包容量可以装入物品i，则x_i=1，背包的价值增加了v_i。这两种情况下背包价值的最大者应该是对x_i决策后的背包价值。

基本思路：

0/1背包问题，首先判断当前背包容量是否可以容纳该物品，如果背包重量超过当前背包容量就不可以放入，如果小于则需要进一步判断，假设当前物品为i,重量为wj,则取前i-1个物品装入容量为j的背包的价值和前i-1个物品装入容量为j-wj的背包加上物品i的价值的最大值。

按照这样的思路，填写过程表格，背包最大价值就是过程矩阵最后一个元素的值。最后倒推求出是哪些物品。

程序清单：

#include<stdio.h>

/*结构体 物品*/
struct Goods
{
	int id;				//物品编号
	int is_in_bag;		        //当前物品是否在背包中，1表示在背包，0表示不在
	int weight;			//当前物品的重量
	int value;			//当前物品的价值
}goods[50];                             //目前所支持最大物品数量为50，可根据实际情况调整


/*函数原型声明*/
int KnapSack(struct Goods goods[50] ,int n,int C);	//求背包的最大价值
void PrintInfo(struct Goods goods[50],int n);		//输出物品信息
void IsInBagInfo(struct Goods goods[50],int n);		//装入背包中的物品的信息


/*主函数*/
int main()
{
	int i;
	int capacity;		//背包的容量
	int goods_number;	//物品的个数
	int max_value;		//最大价值
    /*输入背包容量、物品个数、物品重量、物品价值*/
	printf("请输入背包容量:");
	while(scanf("%d",&capacity) != EOF)
	{	
        printf("请输入物品的个数:");
		scanf("%d",&goods_number);
		while(goods_number > 50)
		{
			printf("抱歉，当前所容许最大物品数量为50，请您重新输入");
			scanf("%d",&goods_number);
		}
        printf("请输入%d物品的重量:",goods_number);
		for(i=0;i<goods_number;i++)
		{
			goods[i].id=i+1;
			goods[i].is_in_bag=0;//默认表示当前物品不在背包
			scanf("%d",&goods[i].weight);
		}
		printf("请输入%d个物品的价值:",goods_number);
		for(i=0;i<goods_number;i++)
		{
            scanf("%d",&goods[i].value);
		}
		/*输出用户输入的信息*/
		PrintInfo(goods,goods_number);
		/*求最大价值*/
		max_value=KnapSack(goods,goods_number,capacity);
	    /*输入背包中物品的信息*/
	    IsInBagInfo(goods,goods_number);
		/*输出最大价值*/
		printf("\n最大价值为%d",max_value);
		/*开始下一次计算*/
		printf("\n\n\n请输入背包容量");
	}
	return 0;
}

/*输出物品信息*/
void PrintInfo(struct Goods goods[50],int n)
{
	int i=0;
    printf("--------------------------------------------------------\n");
	printf("您输入的物品信息如下:\n");
   	printf("\n物品ID\t重量\t价值\n");
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			printf("%d\t%d\t%d\n",goods[i].id,goods[i].weight,goods[i].value);
		}
}



/*求背包的最大价值*/
// n——n个物品
// C——背包容量为C
int KnapSack(struct Goods goods[50] ,int n,int C)
{
	int i,j;
	int V[50][50]={0};	//存放迭代结果
	//初始化第0列
	for(i=0;i<=n;i++)	
	{
		V[i][0]=0;
	}
	//初始化第0行
	for(j=0;j<=C;j++)	
	{
		V[0][j]=0;
	}
	//分别计算每一行
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=C;j++)
		{
			if(j<goods[i-1].weight) //物品重量大于背包重量，不能放入
				V[i][j]=V[i-1][j];
			else					//物品重量小于等于背包重量
			{
                V[i][j]=(V[i-1][j]>V[i-1][j-goods[i-1].weight]+goods[i-1].value)?V[i-1][j]:V[i-1][j-goods[i-1].weight]+goods[i-1].value;
			}
		}
	}
	//求装入背包的物品
    for(j=C,i=n;i>0;i--)
	{
         if(V[i][j]>V[i-1][j])
		 {
			 goods[i-1].is_in_bag=1;
			 j=j-goods[i-1].weight;
		 }
		 else
		 {
			 goods[i-1].is_in_bag=0;
		 }
	}
	//输出计算过程
	printf("--------------------------------------------------------\n");
	printf("计算过程如下:\n");
	for(i=0;i<=n;i++)
	{
		for(j=0;j<=C;j++)
			printf("%3d",V[i][j]);
		printf("\n");
	}
	//返回背包最大价值
	return V[n][C];
}


/*输出装入背包中的物品的信息*/
void IsInBagInfo(struct Goods goods[50],int n)
{
	int i=0;
	printf("--------------------------------------------------------\n");
	printf("背包中的物品为:\n");
	printf("物品ID\t重量\t价值\n");
	for(i=0;i<n;i++)
		{
			if(goods[i].is_in_bag==1)
				printf("%d\t%d\t%d\n",goods[i].id,goods[i].weight,goods[i].value);
		}
}

参考结果：

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