【动态规划·习题】金明的预算方案：有依赖的背包问题

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Problem

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间金明自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过NN元钱就行”。今天一早，金明就开始做预算了，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件 附件

电脑 打印机，扫描仪

书柜 图书

书桌 台灯，文具

工作椅 无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有00个、11个或22个附件。附件不再有从属于自己的附件。金明想买的东西很多，肯定会超过妈妈限定的NN元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为55等：用整数1-51−5表示，第55等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是1010元的整数倍）。他希望在不超过NN元（可以等于NN元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

Solution

这道题思维难度不大，重点在于代码的实现方式比较巧妙。

对于每一个组别，有下列的选择方案：

• 只买主件。
• 不仅买了主件，还买了附件。

因此我们都需要在每一次枚举主件的时候做若干次01背包。即：

• 一定选主件时，做一次01背包
• 对每一个附件做01背包。
• 更新答案。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int w[50000];
int q[50000];
int a[50000];
int f[50000];
int v[50000];
int main(void)
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for (int i=1,x,y;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d %d %d",v+i,w+i,q+i);
		w[i]=v[i]*w[i];
	}
	for (int i=1;i<=m;++i)
	{
		if (q[i]) continue;
		for (int j=0;j<v[i];++j) a[j]=0;
		for (int j=v[i];j<=n;++j) a[j]=f[j-v[i]]+w[i];
		//将最终的决策内必须包含主件 
		for (int j=1;j<=m;++j)
		    if (q[j]==i)
		    	for (int k=n;k>=v[i]+v[j];--k)
		    	//下限一定要是v[i]+v[j],一定要把第i件物品包含在内 
				    a[k]=max(a[k-v[j]]+w[j],a[k]); 
		for (int j=v[i];j<=n;++j) f[j]=max(f[j],a[j]);
	}
	printf("%d",f[n]);
	return 0;
}