问题描述 小明开了一家糖果店。他别出心裁:把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。 小朋友来买糖的时候,他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的,比如要买 10 颗糖。 你可以用计算机测试一下,在这种包装情况下,最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。 本题的要求就是在已知两个包装的数量时,求最大不能组合出的数字。 输入格式 两个正整数,表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000) 输出格式 一个正整数,表示最大不能买到的糖数 样例输入1 4 7 样例输出1 17 样例输入2 3 5 样例输出2 7
代码如下:
1 #include <stdio.h> 2 3 int main(void) 4 { 5 int x,y; 6 scanf("%d%d",&x,&y); 7 printf("%d",x*y-x-y); 8 return 0; 9 }
解题思路:
涉及到数学知识,参考:https://blog.csdn.net/jingqi814/article/details/21734449
证明: 1 首先证明,关于x,y的不定方程: x*a+y*b=a*b-a-b 无非负整数解 反设这个方程有解,变形一下,x*a+(y+1)*b=a*b-a ,则推出a|(y+1)*b (|是整除符号),那么由于(a,b)=1 ,推出, a|y+1 ,由于y+1!=0, 这样y+1>=a 带回原方程,x*a+(y+1)*b>=0*a+a*b>=ab>ab-a, 和原方程矛盾。 2 其次证明 如果n>ab-a-b , 方程x*a+y*b=n 一定有非负整数解。 只需证明: 取l>=1 证明a*b-a-b+l =x*a+y*b 一定有非负整数解。 先考虑如下一个方程,x*a+y*b=l (l,不是1),有裴蜀定理,这个方程一定有无穷多组整数解,取出一组解,不妨设 x0*a-y0*b=l x0>=1 ,y0>=0;再使得y0满足y0<=a-1 由于所有解里面y的取值是mod a 同余的,一定可以取到0~a-1这个范围里面) 取出来了这个x0,y0以后,带回方程a*b-a-b+l =x*a+y*b , 则 a*b-a-b+l =a*b-a-b+(x0*a-y0*b)=(a-y0-1)*b+(x0-1) *a , a,b的系数都是非负的了,所以解找到了。 综合1,2两部 ,ab-a-b 不可以被表示,大于ab-a-b的整数通通可以被表示