蓝桥杯试题 历届试题 买不到的数目(第四届蓝桥杯省赛C++A组)

买不到的数目

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问题描述
小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式
两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1

4 7

样例输出1

17

样例输入2

3 5

样例输出2

7

解题思路

• 思路一
  数论
  如果a,b均是正整数且互质，那么由 ax+by,x≥0,y≥0不能凑出的最大数是(a−1)(b−1)−1
  引理：给定a，b，若gcd(a,b)>1,则一定不能凑出最大数
• 具体操作见代码

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define lowbit(x) (x &(-x))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-10;
const int M=1e9+7;
const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	cout<<(n-1)*(m-1)-1<<endl;
	return 0;
}

• 思路二
  dp
• 用bool数组dp[i]表示能否组合成i，将dp[0],dp[n]和dp[m]都置为1
• for循环遍历，每遍历到一个数，都要看看dp[i - n]或dp[i -m]是否为1，如果是，则置true，否则就更新ans
• 从n和m中较大的数开始遍历，遍历到n*m即可，因为我们已经将dp[0],dp[n]和dp[m]都置为1，且易得比n*m大的数必定可以被n,m组合
• ans就是指最大不能买的数目，循环结束，便可直接输出ans
• 具体操作见代码

附上代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define lowbit(x) (x &(-x))
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={-1,0,1,0,0,-1,0,1};
const double PI=acos(-1.0);
const double eps=1e-10;
const int M=1e9+7;
const int N=1e6+5;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
bool dp[N]; 
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	int n,m,ans;
	cin>>n>>m;
	dp[0]=1;
	dp[n]=dp[m]=1;
	int maxn=max(n,m);
	for(int i=maxn;i<n*m;i++){
		if(dp[i-n]||dp[i-m])
			dp[i]=1;
		else
			ans=i;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}