@算法 - 4@ 多项式的多点求值与快速插值

其他 2018-12-30 11:04:38 阅读次数: 0

目录

@0 - 参考资料@

Cyhlnj 的博客

@1 - 多点求值@

@理论推导@

假设已知多项式 \(A(x)\)，使用 FFT 可以将 \(A(w_n^0)\)，\(A(w_n^1)\)，...，\(A(w_n^{n-1})\) 的值在 \(O(n\log n)\) 的时间内快速求出。

那么问题来了，假如我现在要求解任意的 \(A(x_0)\)，\(A(x_1)\)，...，\(A(x_{n-1})\) 该怎么办呢？难道只有 \(O(n^2)\) 的算法吗？
当然不是。

我们依照直觉把 \(x_{0\dots {n-1}}\) 分为两个集合：
\[S_l=\{x_0,x_1,\dots x_{\frac{n}{2}}\}\\ S_r=\{x_{\frac{n}{2}+1},x_{\frac{n}{2}+2},\dots x_{n-1}\}\\\]
然后，记多项式 \(P_l(x)=\prod_{x_i\in S_L}(x-x_i)\)，并用 \(A(x)\) 除以 \(P_l(x)\)，得到：
\[A(x)=P_l(x)*Q(x)+R_l(x)\]
这样当 \(x_i\in S_l\) 时，\(P_l(x_i)=0\)，\(A(x_i) = R_l(x_i)\)。
同理我们可以对 \(S_r\) 进行相应的处理。

问题转换为 \(S_l\) 对 \(R_l(x)\) 求值，\(S_r\) 对 \(R_r(x)\) 求值。
然后就可以分治了。到底层时 \(R(x)\) 就是一个常数，可以直接赋值。

\(P_l(x)\) 与 \(P_r(x)\) 可以利用类线段树的方法处理与储存下来。
一个细节：如果 \(A(x)\) 的最高次数高于 \(\prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i)\)，则先 \(A(x)\) 模一下 \(\prod_{x=0}^{N-1}(x-x_i)\)。

复杂度为 \(O(n\log^2n)\)。

@参考代码@

本代码为 luoguP5050 的 AC 代码。

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 64000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
    int ret = 1;
    while( p ) {
        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
        b = 1LL*b*b%MOD;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
struct Polynomial{
    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_clear(int *A, int l, int r) {
        for(int i=l;i<r;i++)
            A[i] = 0;
    }
    void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[n-i-1];
    }
    void ntt(int *A, int n, int type) {
        for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
            if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
            for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
        }
        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
            int t = (s>>1);
            int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
            for(int i=0;i<n;i+=s) {
                for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
                    int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
                    A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
                }
            }
        }
        if( type == -1 ) {
            int inv = pow_mod(n, MOD-2);
            for(int i=0;i<n;i++)
                A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
        }
    }
    int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
    void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
        int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
        poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
        poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
        ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
        ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
    }
    void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
        if( n == 1 ) {
            B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
            return ;
        }
        int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
        poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
        ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
        ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
    }
    int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
    void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
        
        poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
    }
    void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
        if( n < m ) {
            for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
            return ;
        }
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        
        poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
        poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
    }
    vector<int>P[MAXN + 5];
    void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
        if( l == r ) {
            P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
        for(int i=0;i<P[x<<1].size();i++) tmp4[i] = P[x<<1][i];
        for(int i=0;i<P[x<<1|1].size();i++) tmp5[i] = P[x<<1|1][i];
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
        for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
        poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
    }
    int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
    void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
        poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
        if( l == r ) {
            Y[l] = tmp8[dep][0];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
        poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
    }
}oper;
int f[MAXN + 5], a[MAXN + 5], g[MAXN + 5];
int main() {
    int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); n++;
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d", &f[i]);
    for(int i=0;i<m;i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    oper.poly_build(a, 1, 0, m-1);
    oper.poly_eval(f, g, 0, n, 0, m-1, 1);
    for(int i=0;i<m;i++)
        printf("%d\n", g[i]);
}

@例题与应用@

@快速插值@

就是下面那个东西，对，它就是多点求值的一个应用。

@2 - 快速插值@

@理论推导@

这个才是真正的毒瘤……

我们已知任意的 N+1 个点 \((x_0,y_0)\)，\((x_1,y_1)\)，...，\((x_N,y_N)\)，想要还原一个多项式 \(A(x)\) 使得 \(A(x_i)=y_i\)。

首先来看一个东西，拉格朗日插值：
\[f(x) = \sum_{i=0}^{N}(\dfrac{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i\]

怎么证明呢？其实比较简单。首先证明其正确性：
记 \(P_i(x)=(\dfrac{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)})*y_i\)，
当 \(i = j\) 时，分子等于分母， \(P_i(x_j) = y_i\)；
当 \(i\not = j\) 时，分子等于零， \(P_i(x_j) = 0\)。
故 \(f(x_i)=\sum_{j=0}^{N}P_j(x_i)=y_i\)。

然后证明其唯一性，可以采用线性方程组的方法。

但是……我们如果暴力来化简上面那个式子，时间复杂度就高上天了。
所以我们接下来就来乱搞一下。

首先求解分母的部分，即 \(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)\) 的值。
记 \(g(x) = \prod_{i=0}^N(x-x_i)\)，则我们相当于是求解：
\[\lim_{x->x_i}\dfrac{g(x)}{(x-x_i)}\]
当 \(x = x_i\) 时分母是等于 0 的，没有意义，所以我们写成极限的形式。
根据洛必达法则：
\[\lim_{x->x_i}\dfrac{g(x)}{(x-x_i)}=g'(x)\]
即我们相当于要求解 \(g'(x_0)\)，\(g'(x_1)\)，...，\(g'(x_N)\)，快速插值即可。

……我相信你们应该会一些简单的微积分吧。
算了不重要，我继续往下讲。

【高能预警】下面的公式非常密集，请做好心理准备。

记 \(k_i = \dfrac{y_i}{\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x_i-x_j)}\)，分子已知，分母可以通过我们上边的方法求解。

则原式变为：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{N}k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j))\]

记 \(P_l(x)=\prod_{i=0}^{\frac{N}{2}}(x-x_i)\)，\(P_r(x)=\prod_{i=\frac{N}{2}+1}^{N}(x-x_i)\)。

再记 \(f_l(x)=\sum_{i=0}^{\frac{N}{2}}k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{\frac{N}{2}}(x-x_j))\)，\(f_r(x)=\sum_{i=\frac{N}{2}+1}^{N}k_i*(\prod_{j=\frac{N}{2}+1,j\not =i}^{N}(x-x_j))\)

则 \(f(x)\) 可以写成：
\[f(x)=P_r(x)*f_l(x)+P_l(x)*f_r(x)\]
预处理出 \(P(x)\)，分治即可。最底层直接返回 \(k_i\)。

怎么理解呢？对于 \(h_i(x) = k_i*(\prod_{j=0,j\not =i}^{N}(x-x_j))\)，它 “缺” \((x-x_i)\) 这一项。
对于 \(0\le i\le \frac{N}{2}\)，它们都不 “缺” \((x-x_j),\frac{N}{2}+1\le j\le N\) 这一项。
所以利用乘法分配律，就可以得到上面那个式子。

一个细节：多点求值用的 \(P(x)\) 与快速插值后面分治用的 \(P(x)\) 是同一个玩意儿，所以可以不用重复求解。

时间复杂度：\(O(n\log^2n)\)，常数极大。

@（不建议参考的）代码@

本代码为 luoguP5518 的 AC 代码

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int G = 3;
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 100000*10;
int pow_mod(int b, int p) {
    int ret = 1;
    while( p ) {
        if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD;
        b = 1LL*b*b%MOD;
        p >>= 1;
    }
    return ret;
}
int inv[MAXN + 5];
void init() {
    inv[1] = 1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
        inv[i] = 1LL*(MOD - MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD;
}
struct Polynomial{
    void poly_copy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_copy(int *A, vector<int> B) {
        for(int i=0;i<B.size();i++)
            A[i] = B[i];
    }
    void poly_clear(int *A, int l, int r) {
        for(int i=l;i<r;i++)
            A[i] = 0;
    }
    void poly_revcopy(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=0;i<n;i++)
            A[i] = B[n-i-1];
    }
    void ntt(int *A, int n, int type) {
        for(int i=0,j=0;i<n;i++) {
            if( i < j ) swap(A[i], A[j]);
            for(int l=(n>>1);(j^=l)<l;l>>=1);
        }
        for(int s=2;s<=n;s<<=1) {
            int t = (s>>1);
            int u = (type == -1) ? pow_mod(G, (MOD-1) - (MOD-1)/s) : pow_mod(G, (MOD-1)/s);
            for(int i=0;i<n;i+=s) {
                for(int j=0,p=1;j<t;j++,p=1LL*p*u%MOD) {
                    int x = A[i+j], y = 1LL*p*A[i+j+t]%MOD;
                    A[i+j] = (x + y)%MOD, A[i+j+t] = (x + MOD - y)%MOD;
                }
            }
        }
        if( type == -1 ) {
            int inv = pow_mod(n, MOD-2);
            for(int i=0;i<n;i++)
                A[i] = 1LL*A[i]*inv%MOD;
        }
    }
    int tmp1[MAXN + 5], tmp2[MAXN + 5], tmp3[MAXN + 5];
    void poly_mul(int *A, int *B, int *C, int n, int m) {
        int len; for(len = 1;len < n+m-1;len <<= 1);
        poly_copy(tmp1, A, n); poly_clear(tmp1, n, len);
        poly_copy(tmp2, B, m); poly_clear(tmp2, m, len);
        ntt(tmp1, len, 1); ntt(tmp2, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) tmp3[i] = 1LL*tmp1[i]*tmp2[i]%MOD;
        ntt(tmp3, len, -1); poly_copy(C, tmp3, n+m-1);
    }
    void poly_inv(int *A, int *B, int n) {
        if( n == 1 ) {
            B[0] = pow_mod(A[0], MOD-2);
            return ;
        }
        int len; for(len = 1;len < (n<<1);len <<= 1);
        poly_inv(A, B, (n + 1) >> 1);
        poly_copy(tmp3, A, n); poly_clear(tmp3, n, len);
        ntt(tmp3, len, 1); ntt(B, len, 1);
        for(int i=0;i<len;i++) B[i] = 1LL*B[i]*(2 + MOD - 1LL*tmp3[i]*B[i]%MOD)%MOD;
        ntt(B, len, -1); poly_clear(B, n, len);
    }
    int tmp4[MAXN + 5], tmp5[MAXN + 5], tmp6[MAXN + 5];
    void poly_divide(int *A, int *B, int *C, int *R, int n, int m) {
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_clear(tmp5, 0, 2*(n-m+1)); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        poly_revcopy(C, tmp6, n-m+1);
        
        poly_copy(tmp4, C, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
    }
    void poly_mod(int *A, int *B, int *R, int n, int m) {
        if( n < m ) {
            for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = A[i];
            return ;
        }
        poly_revcopy(tmp4, B, m); poly_inv(tmp4, tmp5, n-m+1);
        poly_revcopy(tmp4, A, n); poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, n-m+1);
        
        poly_revcopy(tmp4, tmp6, n-m+1); poly_copy(tmp5, B, m);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, n-m+1, m);
        for(int i=0;i<m-1;i++) R[i] = (A[i] + MOD - tmp6[i])%MOD;
        poly_clear(tmp4, 0, n); poly_clear(tmp5, 0, n);
    }
    vector<int>P[MAXN + 5];
    void poly_build(int *X, int x, int l, int r) {
        if( l == r ) {
            P[x].clear(); P[x].push_back(MOD-X[l]), P[x].push_back(1);
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_build(X, x<<1, l, mid), poly_build(X, x<<1|1, mid+1, r);
        poly_copy(tmp4, P[x<<1]), poly_copy(tmp5, P[x<<1|1]);
        poly_mul(tmp4, tmp5, tmp6, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size()); P[x].clear();
        for(int i=0;i<P[x<<1].size()+P[x<<1|1].size()-1;i++) P[x].push_back(tmp6[i]);
        poly_clear(tmp4, 0, P[x<<1].size()), poly_clear(tmp5, 0, P[x<<1|1].size());
    }
    int tmp7[MAXN + 5], tmp8[25][MAXN + 5];
    void poly_eval(int *A, int *Y, int dep, int n, int l, int r, int x) {
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) tmp7[i] = P[x][i];
        poly_mod(A, tmp7, tmp8[dep], n, P[x].size());
        if( l == r ) {
            Y[l] = tmp8[dep][0];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, l, mid, x<<1);
        poly_eval(tmp8[dep], Y, dep+1, P[x].size()-1, mid+1, r, x<<1|1);
        poly_clear(tmp8[dep], 0, P[x].size()-1);
    }
    void poly_dif(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=1;i<n;i++)
            B[i-1] = 1LL*A[i]*i%MOD;
        B[n-1] = 0;
    }
    void poly_itgr(int *A, int *B, int n) {
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
            B[i+1] = 1LL*A[i]*inv[i+1]%MOD;
    }
    int tmp9[MAXN + 5], tmp10[MAXN + 5], tmp11[25][MAXN + 5], tmp12[MAXN + 5];
    void poly_itplt(int *A, int dep, int x, int l, int r) {
        poly_clear(A, 0, P[x].size());
        if( l == r ) {
            A[0] = tmp10[l];
            return ;
        }
        int mid = (l + r) >> 1;
        poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1, l, mid);
        poly_copy(tmp9, P[x<<1|1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1|1].size(), P[x<<1].size());
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
        poly_itplt(tmp11[dep], dep+1, x<<1|1, mid+1, r);
        poly_copy(tmp9, P[x<<1]); poly_mul(tmp9, tmp11[dep], tmp12, P[x<<1].size(), P[x<<1|1].size());
        for(int i=0;i<P[x].size();i++) A[i] = (A[i] + tmp12[i])%MOD;
    }
    void poly_itplt(int *X, int *Y, int *A, int n) {
        poly_build(X, 1, 0, n-1); poly_copy(tmp9, P[1]);
        poly_dif(tmp9, tmp9, P[1].size());
        poly_eval(tmp9, tmp10, 0, P[1].size()-1, 0, n-1, 1);
        for(int i=0;i<n;i++) tmp10[i] = 1LL*Y[i]*pow_mod(tmp10[i], MOD-2)%MOD;
        poly_itplt(A, 0, 1, 0, n-1);
    }
}oper;
int x[MAXN + 5], y[MAXN + 5], f[MAXN + 5];
int main() {
    int n; scanf("%d", &n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d", &x[i], &y[i]);
    oper.poly_itplt(x, y, f, n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        printf("%d ", f[i]);
}

@例题与应用@（暂无）

这个东西……能够应用？？？

猜你喜欢

转载自www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/10198693.html
今日推荐
火速冲上 GitHub 热榜 —— 开源编程语言、框架哪有这么可爱？
北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱拟人奔跑的全尺寸人形机器人“天工”
LFOSSA 源来如此公开课 | 掌握云原生未来：CNCF 认证全面攻略与备考秘籍
国产云输入法——仅华为无云端数据上传安全问题
开源日报 | 工业开源项目OGG 1.0；姐姐，你要和我一起配置火狐吗；苹果AI遥遥落后？Fedora 40
开放签电子签章：停止新增，优化体验，前进更进（五一假期前工作）
开源日报 | 中学生开源前端动画引擎；全球首个Llama3 8B中文版开源模型；联想电脑恐出局；Linus讽刺AI炒作
周排行
浏览器对同一域名进行请求的最大并发连接数
React Hook之自定义Hook
【转】MyBatis缓存机制
-Java-泛型
自动化测试常用脚本-发送邮件
LeetCode#859: Buddy Strings
java、Python处理字符串
第二篇の博客
Hadoop伪分布式环境安装
SQL Server进阶（十一）临时表、表变量
每日归档
更多
2024-04-27(56)
2024-04-26(39)
2024-04-25(22)
2024-04-24(36)
2024-04-23(26)
2024-04-22(39)
2024-04-21(0)
2024-04-20(6)
2024-04-19(5)
2024-04-18(0)

代码天地 © 2018 codetd.com

境外服务器   最新电视剧2022