多项式多点求值

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Preface

首先我们需要的前置知识有：

• 多项式取模
• 余式定理

多项式取模可以看这里
余式定理的内容是这样的：

对于多项式F(x)，其在x=x0处的点值等于F(x) mod (x-x0)
因为除式是个一次式，那么余式一定是一个常数

Procedure

考虑分治
假设我们要求多项式 $F(x)$在(x0…xn-1)这n个点的点值

设 $P_{l,r}(x)=\prod\limits_{i=l}^{r} (x-x_i),F_{l,r}(x)=F(x)\mod P_{l,r}(x)$

显然 $F_{i,i}(x)=F(x_i)$

我们知道当 $c|b$时， $(a\mod b)\mod c=a\mod c$

那么分治的时候， $F_{l,mid}(x)=F_{l,r}(x)\mod P_{l,mid}(x)$
先分治FFT预处理出所有区间的P（显然总次数和是n log n）的
然后递归分治做即可

总的复杂度是 $O(n\log ^2 n)$

Code

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