多项式基础III 多项式多点求值 多项式快速插值

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多项式多点求值

给定 $n$个值 $x_i$，求 $f(x_i)$。

设 $f_0(x)=\sum_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}f(x_i)$， $P_0(x)=\prod_{i=0}^{\frac{n}{2}-1}x-x_i$。则有 $f(x)=P_0(x)z(x)+f_0(x)$其中 $z(x)$是某一多项式。

于是对于 $i<\frac{n}{2}$，有 $f(x_i)=(f\bmod P_0)(x_i)$。后一半同样。递归计算即可，每次用分治卷积和多项式取模，复杂度为 $O(n\log^2n)$。

多项式快速插值

给定 $n$个二元组 $(x_i,y_i)$，求 $F(x)$使 $F(x_i)=y_i$。

由拉格朗日插值公式， $F(x)=\sum_i\frac{\prod_{j=\not i}(x-x_j)}{\prod_{j=\not i}(x_i-x_j)}\cdot y_i$
设 $M(x)=\prod_i(x-x_i)$，则 $F(x)=\sum_i\frac{\prod_{j=\not i}(x-x_j)}{\frac{M(x_i)}{x_i-x_i}}\cdot y_i$ $F(x)=\sum_i\frac{\prod_{j=\not i}(x-x_j)}{M'(x_i)}\cdot y_i$
此时可以用多项式多点求值求出所有的 $M'(x_i)$。设 $A_i=\frac{y_i}{M'(x_i)}$，则等式变为 $F(x)=\sum_iA_i\prod_{j=\not i}(x-x_j)$
分治即可。设两半边答案分别为 $F_0(x)$、 $F_1(x)$，则 $F(x)=F_0(x)\prod_{i=mid+1}^r(x-x_i)+F_1(x)\prod_{i=l}^{mid}(x-x_i)$
复杂度为 $O(n\log^2n)$。

*2019.01.11 13:30:18