WC模拟：Every one will meet some difficult（第一类斯特林数）

以前SB了写过一篇比较复杂的做法，现在才发现这个东西非常的Naive。

设前n个选完之后剩下$S$,我们要求$\sum \binom{S}{m-n}$。

直接把这个东西用第一类斯特林数搞一搞，我们要求$\sum_{i=0}^{m-n} (-1)^{m-n-i} \begin{bmatrix} m-n \\ i\end{bmatrix} S^i$

考虑维护$S^i$ ,发现前n个每加入一个数，就变为$(S-x)^i$，拆开是一个多项式卷积，我们用多项式快速幂即可在$O((m-n)\log^2(m-n))/O((m-n)\log (m-n))$解决（后者先求对数再exp回去即可）。

不过瓶颈在于这个$x$从$1$取到$t$,还要自然数幂求和，时间复杂度$O((m-n)^2)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N=1e3+50, mod=1e9+7;
inline int add(int x,int y) {return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y);}
inline int dec(int x,int y) {return (x-y<0) ? (x-y+mod) : (x-y);}
inline int mul(int x,int y) {return (LL)x*y%mod;}
inline int power(int a,int b,int rs=1) {for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) rs=mul(rs,a); return rs;}

int n,m,t,k; LL s;
int S[N][N],fac[N],ifac[N],inv[N];
struct lgip {
    int pre[N],suf[N],yc[N],deg;
    inline void init() {
        for(int i=1;i<=k+2;i++) yc[i]=add(yc[i-1],yc[i]);
    }
    inline int getval(int nn) {
        int rs=0, o=1;
        for(int i=2;i<=k+2;i++) o=mul(o,inv[i-1]);
        pre[0]=1; for(int i=1;i<=k+2;i++) pre[i]=mul(pre[i-1],dec(i,nn));
        suf[k+3]=1; for(int i=k+2;i;i--) suf[i]=mul(suf[i+1],dec(i,nn));
        for(int i=1;i<=k+2;i++) {
            rs=add(rs,mul(mul(pre[i-1],suf[i+1]),mul(o,yc[i])));
            o=mul(o,k+2-i); o=mul(o,mod-inv[i]);
        } return rs;
    }
} f[N];
struct poly {
    int a[N];
    poly() {memset(a,0,sizeof(a));}
    friend inline poly operator *(const poly &a,const poly &b) {
        poly c;
        for(int i=0;i<=k;i++) 
            for(int j=0;j<=i;j++)
                c.a[i]=add(c.a[i],mul(a.a[j],b.a[i-j]));
        return c;           
    }
} F,G,H;
int main() {
    cin>>s>>t>>n>>m; k=m-n; s=s%mod;
    fac[0]=1; for(int i=1;i<=k+2;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    ifac[k+2]=power(fac[k+2],mod-2); for(int i=k+1;~i;i--) ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
    inv[0]=1; for(int i=1;i<=k+2;i++) inv[i]=mul(fac[i-1],ifac[i]);
    for(int i=1;i<=k+2;i++)
        for(int pw=1,j=0;j<=k;j++) {
            f[j].yc[i]=pw;
            pw=mul(pw,i);
        }
    for(int i=0;i<=k;i++) f[i].init();
    for(int i=0;i<=k;i++) {
        G.a[i]=mul(ifac[i],f[i].getval(t));
        if(i&1) G.a[i]=mod-G.a[i];
    } H.a[0]=1;
    for(;n;n>>=1,G=G*G)
        if(n&1) H=G*H;
    for(int i=0;i<=k;i++) F.a[i]=power(s,i);
    for(int i=0;i<=k;i++) F.a[i]=mul(F.a[i],ifac[i]);
    F=F*H;  int rs=0;
    for(int i=0;i<=k;i++) F.a[i]=mul(F.a[i],fac[i]);
    S[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(int j=1;j<=k;j++)
            S[i][j]=add(S[i-1][j-1],mul(S[i-1][j],i-1));
    for(int i=0;i<=k;i++) {
        if((k-i)&1) rs=dec(rs,mul(S[k][i],F.a[i]));
        else rs=add(rs,mul(S[k][i],F.a[i]));
    } cout<<mul(rs,ifac[k])<<'\n';
}