第一类斯特林数学习记录

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最近做题有时会碰到斯特林数（Stirling数），就觉得好好的学习一番，于是呢，写下这篇博客，来记录一些知识

简单介绍

第一类斯特林数表示表示将 n 个不同元素构成m个圆排列的数目。——百度百科

第一类斯特林数，可以表示为$s(n,m)$，注意这里是小写
，要与大写的第二类斯特林数区分开来，定义上面也讲到了，但是呢，其实那句话最好改成第一类斯特林数的绝对值，因为第一类斯特林数是分正负的，分为无符号斯特林数$s_u(n,m)$和有符号斯特林数$s_s(n,m)$

有无符号Stirling数分别表现为其升阶函数和降阶函数的各项系数[类似于二项式系数]，形式如下：

$$x^{n\downarrow}=x(x-1)(x-2)···(x-n-1)=\sum_{k=0}^ns_s(n,k)x^k$$
$$x^{n\uparrow}=x(x+1)(x+2)···(x+n-1)=\sum_{k=0}^ns_u(n,k)x^k$$

这是一个很烦的式子，但其实呢，有符号和无符号斯特林数之间的关系其实很简单$s_s(n,m)=(-1)^{n+m}s_u(n,m)$

计算公式

第一类斯特林数有个递推式很好想
想一下对于$s_u(n,m)$
若$n=0$，$m=0$那么显然就一种方案
若$n\neq0$，$m=0$那么肯定分配不了，有0种方案
若$n\neq0$，$m\neq0$
那么考虑转移
倘若由$s_u(n-1,m-1)$转移而来，则说明新来的一个点自成一个环只有一倍的贡献
倘若由$s_u(n-1,m)$转移而来，则说明新来的一个点插入到m个环中的n-1个空格的任何一个位置，那么就有n-1倍的贡献，递推式为$s_u(n,m)=s_u(n-1,m-1)+(n-1)*s_u(n-1,m)$
有符号的第一类斯特林数的递推式为$s_s(n,m)=s_s(n-1,m-1)-(n-1)*s_s(n-1,m)$
证明是前面那个公式

$$\sum_{k=0}^ns(n,k)x^k=x^{n\downarrow}=x^{n-1\downarrow}*(x-n+1)=\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^{k+1}-n*\sum_{k=0}^{n-1}s(n-1,k)x^k$$
依次把 $x^m$在左右两边的系数提取出来得到

性质

除了一些比较容易想到的性质外，第一类斯特林数还有如下性质

$$s_u(n,2)=(n-1)!*\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}$$
$$\sum_{k=0}^ns_u(n,k)=n!$$

应用

第一类斯特林数是一种在组合方面比较有用的数，很多问题都可通过它来解决，熟悉它的性质，才能熟练的运用到公式推导的过程中去