莫比乌斯反演(三)：莫比乌斯反演定理

莫比乌斯反演定理

定理

第一种形式的莫比乌斯反演

存在 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在非负整数域的函数，并且满足
$f(n) = \sum_{d|n}g(d)$
式子等价于
$g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

第二种形式的莫比乌斯反演

莫比乌斯反演还存在另一种形式：

存在
$f(n)=\sum_{n|d}g(d)$
式子等价于
$g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$

证明

第一种形式的证明

简单朴素证明：

只需证右边 $\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$ 等于左边的 $g(n)$ 即可。
$\begin{aligned} \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d}) & = \sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}g(i)\\ &=\sum_{d|n}\sum_{i|\frac{n}{d}}\mu(d)g(i)\\ &=\sum_{i|n}\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)g(i)\\ &=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}g(i)\\ &=g(n)\\ \end{aligned}$
如上， $g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$ 得证。

卷积证明：

证明参考：点击此链接
求证： $f(n) = \sum_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$

已知 $\mu$ 为莫比乌斯函数， $u$ 为乘法单位元， $e$ 为单位元。
它们存在以下三个性质：1. $u = \mu^{-1}$ 。2. $u*\mu=e$ 。3. $e*f=f$ 。
求证： $f = g * u \Leftrightarrow g = f*\mu$
先证： $f=g*u\Rightarrow g = f*\mu$
$\begin{aligned} f=g*u & \Rightarrow g = f * \mu\\ & \Rightarrow g*u = f*\mu*u\\ & \Rightarrow g*u= f*(\mu*u)\\ & \Rightarrow g*u=f*e\\ & \Rightarrow g*u=f\\ \end{aligned}$
如上， $f(n) = \sum_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$ 得证。
再证： $g = f * \mu \Rightarrow f=g*u$
$\begin{aligned} g = f*\mu & \Rightarrow f=g*u\\ & \Rightarrow f*\mu=g*u*\mu\\ & \Rightarrow f*\mu=g*(u*\mu)\\ & \Rightarrow f*\mu=g*e\\ & \Rightarrow f*\mu=g\\ \end{aligned}$
如上， $g = f * \mu \Rightarrow f=g*u$ 得证。
即 $f(n) = \sum_{d|n}g(d) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})$ 得证。

第二种形式的证明

简单朴素证明

求证 $f(n)=\sum_{n|d}g(d) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)$
令 $k={d\over n}$ ，
$\begin{aligned} g(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)f(nk)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)\sum_{nk|i}g(i)\\ &=\sum_{k=1}^{+\infty}\sum_{nk|i}\mu(k)g(i)\\ &=\sum_{n|i}\sum_{k|{i\over n}}\mu(k)g(i)\\ &=\sum_{n|i}g(i)\sum_{k|{i\over n}}\mu(k)\\ \end{aligned}$
观察 $\sum_{n|i}g(i)\sum_{k|{i\over n}}\mu(k)$ ，当且仅当 ${i\over n}=1$，即 $i=n$ 时， $\sum_{k|{i\over n}}\mu(k)=1$，其余都是 $0$。因此
$\sum_{n|i}g(i)\sum_{k|{i\over n}}\mu(k)=g(n)$
得证。