【算法竞赛进阶指南】递归实现指数型枚举

题目描述

从 1~n 这 n 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好1个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

本题有自定义校验器（SPJ），各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤15

输入样例：

输出样例：

引例：如果题目不要求输出方案必须升序

填坑，从填1个坑到填n个坑。
坑可以随便填，比如第1个坑选了2之后，第2个坑可以填1（非升序），也可以填3（升序）

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;

int n;
int a[20];
bool vis[20];

// 一共tar个坑，当前枚举到第pos个坑
void dfs(int pos, int tar) {
    if (pos == tar + 1) {
        for (int i = 1; i <= tar; i ++ ) cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
        return ;
    }
    
    // 选数填坑，选择的数范围是1～n
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (!vis[i]) {
            vis[i] = true; a[pos] = i;
            dfs (pos + 1, tar);
            vis[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cout << endl; // 不取
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        dfs(1, i);
    return 0;
}

所有升序方案

依旧是填坑，从填1个坑到填n个坑。
和上面不同的是，上面是第1个坑选了2之后，第2个坑还可以从2之前的数开始填坑，现在是第1个坑选了2之后，第2个坑只能从大于2的数里选了。
即，当前的坑pos处填了num，则填下一个坑pos+1时，只能从大于num的数里选择填坑。

解决办法：dfs里加一个start，选数的时候，只能从start之后的数里面选择

#include <iostream>
using namespace std;

int n;
int a[20];
bool vis[20];

// 当前枚举到第pos个坑， 上一个坑填的是start-1，这次只能从start开始找数填， 一共要填tar个坑
void dfs(int pos, int start, int tar) {
    if (pos == tar + 1) {
        for (int i = 1; i <= tar; i ++ ) cout << a[i] << " ";
        cout << endl;
        return ;
    }
    
    // 选数填坑，选择的数范围是start～n
    for (int i = start; i <= n; i ++) {
        if (!vis[i]) {
            vis[i] = true; a[pos] = i;
                dfs (pos + 1, i + 1, tar);
            vis[i] = false;
        }
    }
}

int main() {
    cout << endl;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        dfs(1, 1, i);
    return 0;
}

二进制优化1：

用一个二进制数表示选了哪些数，替代之前的a[20]数组
其中 state |= 1 << (i - 1) 代表状态的改变，选了i这个数
state ^= 1 << (i - 1) 代表状态的还原，还原没选i这个数的状态

#include <iostream>
using namespace std;

int n;
bool vis[20];

void dfs(int pos, int start, int tar, int state) {
    if (pos == tar + 1) {
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            if (state >> j & 1) cout << j + 1 << " ";
        }
        cout << endl;
        return ;
    }
    
    for (int i = start; i <= n; i ++) {
        if (!vis[i]) {
            vis[i] = true; state |= 1 << (i - 1);
                dfs (pos + 1, i + 1, tar, state);
            vis[i] = false;state ^= 1 << (i - 1);
        }
    }
}

int main() {
    cout << endl;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        dfs(1, 1, i, 0);
    return 0;
}

状态压缩非递归

状态压缩的特性：可以枚举所有选与不选的情况
题目要求的结果是2^n个
这2^n个选择情况，对应于一个n位的2进制数的各个位取0或取1的情况。
例中n=3，即
000 -> \n
001 -> 1
010 -> 2
100 -> 3
011 -> 1 2
101 -> 1 3
110 -> 2 3
111 -> 1 2 3

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    // state 是每一个状态
    for (int state = 0; state < 1 << n; state ++ ) {
        // 用指针j遍历二进制数state中的每一位
        for (int j = 0; j < n; j ++ ) {
            if (state >> j & 1) cout << j + 1 << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

状态压缩递归：

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;

int n;

// pos是当前枚举到的位置，state是二进制数记录哪些数被选
void dfs(int pos, int state) {
    if (pos == n) {
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            if (state >> i & 1)
                cout << i + 1 << " ";
            cout << endl;
        return ;
    }
    
    dfs (pos + 1, state);  // 不用位于pos这个数
    dfs (pos + 1, state + (1 << pos)); // 用位于pos这个数
}

int main() {
    cin >> n;
    dfs(0, 0);
    return 0;
}