论文介绍
这篇论文被UAI 2009收录，这篇论文在推荐系统领域中非常经典，就算十年后的今天仍然能在不少论文中看到BPR的身影。
简介和相关工作
推荐系统的任务是给用户推荐一系列个性化的物品，之前人们从显式反馈中做推荐的主要方法为矩阵分解（MF）和适应性K最近邻（KNN）。但是这些方法都不是对物品排名做直接的优化。于是这篇文章提出了一种个性化排名的方法BPR-OPT，这种方法是基于贝叶斯理论的极大化后验概率。用户的显式反馈一般从用户与系统的交互行为中得出，比如用户的购买历史，观看历史等，这些很容易从后台日志中得到。
论文核心
U:表示用户集合
I:表示项目集合
那么
表示所有的显式反馈，如图所示：
本文定义了一种偏序关系>u,并且这种偏序关系具有三种特征：完整性，反对称性，传递性。这样可以根据上图的用户物品显性反馈矩阵，得到所有用户的偏序矩阵。如下图所示：
其中，？表示无显性打分数据，+表示用户比j偏爱i，-则相反。
如果用户对查看了物品i2，但是没有查看项目i1，那么可以确定用户对于i1，更偏爱i2。但是如果用户同时查看了i1和i2或者同时都没有查看，那么就是无法确定是否i1和i2的偏序关系。该篇论文的训练集为Ds:
Ds是一个三元组（u,x,j）的集合。下面我们看看BPR-Optimization Criterion的推导公式：
表示用户矩阵或者物品矩阵向量
此处是指示函数，当b为真的时候取1否则取0。
此处的激活函数为sigmoid
BPR-OPT的推导过程如下：
满足：
对
求偏导，有如下的训练过程：
最后结合KNN和MF求出最终的物品排名