Newcoder 39 C.回文串的交集（Manacher+组合数学）

Description

给一个长为 $n$ 的只含小写字母的字符串

设总共有$ x$ 个回文连续子串

在这$ x$ 个子串中任选不同的两个，有公共部分的方案数

答案对 $1000000007$ 取模

Input

第一行一个正整数 $n$

第二行一个长为 $n$ 的字符串

$(n\le 2\cdot 10^6)$

Output

输出一个整数表示答案

Sample Input

4
babb

Sample Output

Solution

假设共有 $x$ 个回文串，选出一对方案数为 $C_x^2$ ，考虑选出一对不相交的方案数，对于所有以第 $i$ 个位置结尾的回文串，即为 $L_i$ ，这些回文串与出现在 $[i+1,n]$ 的一个子串中的回文串均不相交，记为 $S_{i+1}$ ，那么答案即为 $C_x^2-\sum\limits_{i=1}^{n-1}L_i\cdot S_{i+1}$ ，故只要求出 $L_i,S_i$ 即可，注意到 $S_i$ 其实是所有以第 $j$ 个位置开始的回文串的个数 $R_j$ 的后缀和 $(j\ge i)$ ，故只用考虑求出以第 $i$ 个位置结束的回文串个数 $L_i$ 和以第 $i$ 个位置开始的回文串个数 $R_i$ 即可

对整个串跑一边 $Manacher$ ，对于每个极长的回文串 $[l,r]$ ，其后半部分每个位置都会对 $L$ 产生贡献，前半部分每个位置都会对 $R$ 产生贡献，且贡献都是 $1$ ，故用前缀和优化一下即可 $O(n)$ 得到 $L,R$ ，进而得到答案，注意到所有回文串个数 $x=S_1$

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=4000005;
#define mod 1000000007
int add(int x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=mod)x-=mod;
	return x;
}
int mul(int x,int y)
{
	ll z=1ll*x*y;
	return z-z/mod*mod;
}
char s[maxn],ss[maxn];
int ma[maxn];
void Manacher(char *s,int len)
{
	int l=0;
	ss[l++]='$';
	ss[l++]='#';
	for(int i=0;i<len;i++)
	{	
		ss[l++]=s[i];
		ss[l++]='#';
	}
	ss[l]=0;
	int mx=0,id=0;
	for(int i=0;i<l;i++)
	{
		ma[i]=mx>i?min(ma[2*id-i],mx-i):1;
		while(ss[i+ma[i]]==ss[i-ma[i]])ma[i]++;
		if(i+ma[i]>mx)
		{
			mx=i+ma[i];
			id=i;
		}
	}
}
int L[maxn],R[maxn];
int ID(int n)
{
	return (n-1)/2;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d%s",&n,s);
	Manacher(s,n);
	for(int i=2;i<=2*n;i++)
	{
		int len=2*ma[i]-1;
		if(i&1)
		{
			if(len==1)continue;
			int l1=ID(i-len/2+1),r1=ID(i-1),l2=ID(i+1),r2=ID(i+len/2-1);
			R[l1]++,R[r1+1]--,L[l2]++,L[r2+1]--;
		}
		else
		{
			int l1=ID(i-len/2+1),r1=ID(i),l2=ID(i),r2=ID(i+len/2-1);
			R[l1]++,R[r1+1]--,L[l2]++,L[r2+1]--;
		}
	}
	for(int i=1;i<n;i++)L[i]+=L[i-1],R[i]+=R[i-1];
	for(int i=n-2;i>=0;i--)R[i]=add(R[i],R[i+1]);
	int ans=(ll)R[0]*(R[0]-1)/2%mod;
	for(int i=0;i<n-1;i++)ans=add(ans,mod-mul(R[i+1],L[i]));
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

Newcoder 39 C.回文串的交集（Manacher+组合数学）

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