3 有限马尔可夫决策过程（Finite Markov Decision Processes）

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本次总结中的 1-4 小节主要介绍了增强学习中的一些重要的概念，如：Goals、Rewards、Returns、Episode 等，第 5 小节介绍了 Markov Property，第 6 小节介绍了 Markov Decision Processes，第 7、8 小节介绍了 RL 中的 Value Function。可以说这次总结也是为之后介绍 RL 相关算法做了铺垫。

1 增强学习中的一般模型

在强化学习（Reinforcement Learning, RL）初步介绍中曾经介绍了 RL 问题的一般模型，下面再简单回顾一下：

在 RL 中，agents 是具有明确的目标的，所有的 agents 都能感知自己的环境，并根据目标来指导自己的行为，因此 RL 的另一个特点是它将 agents 和与其交互的不确定的环境视为是一个完整的问题。在 RL 问题中，有四个非常重要的概念：

（1）规则（policy）

Policy 定义了 agents 在特定的时间特定的环境下的行为方式，可以视为是从环境状态到行为的映射，常用 $\pi$来表示。policy 可以分为两类：

确定性的 policy（Deterministic policy）: $a=\pi(s)$
随机性的 policy（Stochastic policy）: $\pi(a|s)=P[A_t=a|S_t=t]$

其中， $t$是时间点， $t=0,1,2,3,……$
　　　 $S_t\in{\mathcal{S}}$， ${\mathcal{S}}$是环境状态的集合， $S_t$代表时刻 $t$ 的状态， $s$ 代表其中某个特定的状态；
　　　 $A_t\in{\mathcal{A}}(S_t)$， ${\mathcal{A}}(S_t)$ 是在状态 $S_t$ 下的 actions 的集合， $A_t$ 代表时刻 $t$ 的行为， $a$ 代表其中某个特定的行为。

（2）奖励信号（a reward signal）

Reward 就是一个标量值，是每个 time step 中环境根据 agent 的行为返回给 agent 的信号，reward 定义了在该情景下执行该行为的好坏，agent 可以根据 reward 来调整自己的 policy。常用 $R$ 来表示。

（3）值函数（value function）

Reward 定义的是立即的收益，而 value function 定义的是长期的收益，它可以看作是累计的 reward，常用 $v$ 来表示。

（4）环境模型（a model of the environment）

整个Agent和Environment交互的过程可以用下图来表示：

其中， $t$ 是时间点， $t=0,1,2,3,……$
　　　 $S_t\in{\mathcal{S}}$， ${\mathcal{S}}$ 是环境状态的集合；
　　　 $A_t\in{\mathcal{A}}(S_t)$， ${\mathcal{A}}(S_t)$ 是在状态 $S_t$ 下的 actions 的集合；
　　　 $R_t\in{\mathcal{R}}\in{\Bbb R}$ 是数值型的 reward。

在每个时间步骤中，agent 都会实现一个从 states 到每个可能的 actions 的 probabilities 的映射，这个映射函数就称作是这个 agent 的 $policy$，常用符号 $\pi_t$ 来表示， $\pi_t(a|s)$ 指的就是在状态 $S_t=s$ 下选择执行 $A_t=a$ 的概率。

其实概括的来说，不同的 RL 方法的主要不同就是利用 experience 来改变自己的 $\pi_t$ 的方法，毕竟RL就是从 experience 中进行学习的一系列方法。

2 Goals 和 Rewards

在RL中，goals和rewards是两个重要的概念，在每个时间步骤中，环境返回给 Agent 的 reward 就是一个简单的数值，而 Agent 的 goal 就是最大化它接受到的所有的 reward signal 的和，也就是说，它的目的不是最大化当前步骤的立即获得的 reward ，而是一个长远的目标，并且需要注意的是，这个 reward 是由 environment 定义的而非 Agent。

3 Returns

刚刚提到，Agent 的 goal 就是最大化它接受到的所有的 reward signal 的和，那么就需要将这个目标值用函数的形式来表达出来，这里令时间 $t$ 获得的 reward 为 $R_{t+1}, R_{t+2}, R_{t+3}, \ldots$ ，令 $G_t$ 代表期望的 return，那么最简单的 return 的形式为：
$G_t \doteq R_{t+1}+R_{t+2}+R_{t+3}+\ldots +R_T \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

其中， $T$ 代表最后一个的时间步骤。

这时就需要再引入一个新的概念 $episodes$，翻译成中文的话就是“片段、插曲”的意思，这里指的是一个可以自然结束的 agent-environment 交互的过程，每个 episode 都会在一个特殊的状态下结束，这个状态就称作是 $terminal\ state$，因此每个 episode 的相同点是它们都以 terminal state 来结束，不同就是每个 episode 获得的 reward 不同，采用 episodes 形式的 tasks 就称为是 $episodic\ tasks$，在episodic tasks 中，常常将所有非终止的状态的集合记为是 ${\mathcal{S}}$，而把包含终止状态的所有状态的集合记为是 ${\mathcal{S}}^+$。

与 episode task 相对应的另外一种是 $continuing\ tasks$，它们指的是那些不会自然结束，会一直持续进行的 task，这时return公式（1）中的 $T=\infty$。

还有一个比较重要的概念是 $discounting$，它是对未来不同时刻的 reward 赋予不同的权重，距离现在较近的 reward 的权重较高，而时间越远的权重越低，这时选择行为 $A_t$ 的准则就是最大化期望的 $discounted\ return$：
$G_t \doteq R_{t+1}+{\gamma}R_{t+2}+{\gamma}^2R_{t+3}+\ldots =\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}}$

其中 $0\leq\gamma\leq1$ 称为是 $discount\ rate$，它代表未来第 $k$ 步的 reward 的价值只是当前立即获得的 reward 的 $\gamma^{k-1}$ 倍，若 $\gamma<1$，则当序列 $\{R_k\}$ 有界的时候 $G_t$ 可以得到一个有限的值，若 $\gamma=0$，则认为这个 agent 是“myopic”（目光短浅的），它只关心当前的 rewards，选择下一个 $A_t$ 的准则就是最大化 $R_{t+1}$。 $\gamma$ 越趋近于 $1$，则这个 agent 越是具有“远见的”。

4 Episodic 和 Continuing Tasks 的统一表达形式

增强学习任务大致可以分为两类：一类是 agent-environment 交互过程可以自然结束的 episodes 或者称为是 episodic tasks，另外一类是不能自然结束的 continuing tasks， 其中第一种任务的数学表达较为简单，因为每一个 action 只会影响有限数量的 rewards。

下面先介绍 episode 的数学表达形式，假设这里考虑的是一系列具有有限时间步骤的 episodes，每个 episode 的时间步骤都是从 $0$ 开始标记的，这里用 $S_{t,i}$ 来代表第 $i$ 个 episode 在第 $t$ 时刻的状态，这种表达方式同样可以扩展到 $A_{t,i}, R_{t,i}, \pi_{t,i}, T_{i}$ 等，之后的介绍中如果没有特别的标定 $i$，代表这个符号针对的是一个任意的 episode，它可以推广到所有的 episodes。

其实 episodic 和 continuing tasks 是可以表达成统一的形式的，比如考虑下图这种转换形式，它的特殊在于具有一个特殊的 $absorbing\ state$，即图中用黑色阴影标识的状态，它的特点是这个状态只能转换到自己本身，而不能转换成其他的状态，从初始状态 $S_0$ 开始，它获得的 reward 序列为 $+1,+1,+1,0,0,0, \ldots$，则对这个序列求和得到的值与对前 $T$ （这里 $T=3$）个 reward 求和得到的结果相同。

因此，可以将这两种情况统一表达成：
$G_t \doteq \sum_{k=0}^{T-t-1}{\gamma_kR_{t+k+1}}$

其中，包含了 $T=\infty$ 和 $\gamma=1$ 的情况（但是这俩不能同时满足）。

5 马尔可夫性质

在 RL 框架中，agent是依据环境的状态来做决定，那么这个环境的 state signal 能说明什么？不能说明什么呢？在 RL 中比较关心的一种情况是环境具有 Markov property 的情景。

通常，将能够成功保留所有相关信息的状态信号就称为是 $Markov$，或者称是具有 $Markov\ property$。这种性质怎样用数学表达式来表示呢？我们知道，一般环境的下一个状态是由之前所有的状态来决定的，这种动态性可以表示成一个联合概率分布：
$Pr\{S_{t+1}=s\prime,R_{t+1}=r|S_0,A_0,R_1,\ldots,S_{t-1},A_{t-1},R_t,S_t,A_t\}$

如果这个状态信号具有 $ Markov\ property$，那么环境的动态性完全由上一个状态和行为来决定，即：
$p(s\prime,r|s,a)\doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime, R_{t+1}=r| S_t=s, A_t=a\}$

如果满足这个属性，那么预测下一个 states 和期望的 reward 只需利用当前的状态和 action 即可，而不需要历史信息。

6 Markov Decision Processes

满足 Markov property 的 RL 任务就称作是 $Markov\ decision\ process$，简称为 $MDP$，如果状态和行为空间都是有限的，那么就称为是 $finite\ Markov\ decision\ process$，简称为 $finite\ MDP$。Finite MDPs 在 RL 理论中是非常重要的。

对一个 Markon 的状态 $s$ 和下一个状态 $s\prime$，状态转移概率（ $state transition\ probability$）定义为：
${\mathcal{P}}_{ss\prime }=P[S_{t+1}=s\prime|S_t=s]$

状态转移矩阵（ $State\ \ transition\ matrix$） ${\mathcal{P}}$ 定义了从所有状态 $s$ 到所有可能的下一个状态 $s\prime$ 的转移概率，可以写作为：

显然矩阵的每一行的和为1。

对于一个特定的 finite MDP，它是由状态行为集合和环境的 one-step dynamics 定义的，给定状态 $s$ 和行为 $a$，下一个可能的状态 $s\prime $ 和奖励 $r$ 对的概率为：
$p(s\prime,r|s,a)\doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime, R_{t+1}=r| S_t=s, A_t=a\}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

这个等式完全定义了一个 finite MDP 的动态性，之后的理论基本都是建立在假设环境是 finite MDP 的基础上的。

有了等式（2），就可以计算我希望知道的很多量，如：
　　
state-action 对的期望 rewards 为：
$r(s,a)\doteq E[R_{t+1}| S_t=s, A_t=a] =\sum_{r\in {\mathcal{R}}}r\sum_{s\prime \in{\mathcal{S}}}{p(s\prime,r|s,a)}$
状态转换概率（ $state-transition probabilities$）为：
$p(s\prime|s,a) \doteq Pr\{S_{t+1}=s\prime | S_t=s, A_t=a\}=\sum_{r\in {\mathcal{R}}}{p(s\prime,r|s,a)}$
state-action-next-state这个三元组合对应的期望 rewards 为：
$r(s,a,s\prime) \doteq E[S_t=s | S_t=s, A_t=a, S_{t+1}=s\prime] = \frac{\sum_{r\in {\mathcal{R}}}{rp(s\prime,r|s,a)}}{ p(s\prime|s,a)}$

对 finite MDP 来说， $transition\ graph$ 是一种总结其动态性的有效方式，比如下图所示，其中大的空心圆圈代表的是状态节点（ $state\ nodes$ ），圈圈中字是状态的名称，而小的实心的圆圈代表的是行为节点（ $action\ nodes$ ），小圆圈旁边的字代表的是执行的行为，每条带箭头的线代表的是在状态 $s$ 下选择行为 $a$ 后转换到下一个状态 $s\prime$ 的概率 $p(s\prime|s,a)$ 和相应的回报值 $r(s,a,s\prime)$。

7 Value Functions

在RL问题中， $value\ function$ 是一个重要的概念，几乎所有的 RL 算法都需要计算它，value function 是对 agent 的状态的评价，或者是对 state-action 对的评价，考虑到 agent 的 goal，不难想到这种评价一定是基于对未来期望的 rewards 的评价，当然，这种对未来期望的 rewards 依赖于 agent 选择的行为以及依据的 policy。

这里还按照之前的符号定义，令 $\pi$ 代表 policy，即它是从每个状态 $s$ 向每个行为 $a$ 的映射， $\pi(a|s)$ 代表在状态 $s$ 下执行行为 $a$ 的概率，则在规则 $\pi$ 下状态 $s$ 的 $value$ 就用 $v_{\pi}(s)$ 来表示，它表示从状态 $s$ 开始一直遵从规则 $\pi$ 的期望 return，对于MDPs，可以得到：
$v_{\pi}(s) \doteq {\Bbb E}_{\pi}[G_t|S_t=s]= {\Bbb E}_{\pi}[\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}}|S_t=s]$

其中， ${\Bbb E}_{\pi}[\cdot]$ 指的是给定规则 $\pi$ 下随机变量的期望值，并且时间 $t$ 是个任意值，通常将函数 $v_\pi$ 称为是 $state-value\ function\ for\ policy\ \pi$。

相似的就可以定义在规则 $\pi$ 和状态 $s$ 下选择行为 $a$ 的 value 值，用符号 $q_\pi(s,a)$ 来表示，它表示的而是从状态 $s$ 开始一直遵从规则 $\pi$，在状态 $s$ 下选择行为 $a$ 的期望 return，因此有：
$q_{\pi}(s,a) \doteq {\Bbb E}_{\pi}[G_t|S_t=s, A_t=a] = {\Bbb E}_{\pi} [\sum_{k=0}^{\infty}{\gamma_kR_{t+k+1}}|S_t=s, A_t=a]$

通常将函数 $q_\pi$ 称为是 $action-value\ function\ for\ policy\ \pi$。

通常函数 $v_\pi$ 和 $q_\pi$ 是从经验中估计得到的，常用的是取平均的方法，当处于状态 $s$ 的次数或者在状态 $s$ 下执行行为 $a$ 的次数趋于无穷时，平均值就可以收敛到 $v_\pi(s)$ 或者 $q_\pi(s,a)$，因为这种方法是对真实返回值的许多次随机样本进行平均，因此称这种方法为 $Monte\ Carlo\ methods$，这种方法之后也会再详细介绍。

在RL和动态编程（dynamic programming）中使用的 value function 具有一个重要的属性，即它们满足一种递归关系。对于规则 $\pi$ 和状态 $s$，状态 $s$ 的 value 和他之后的状态的 value 满足下面的等式关系：

其中最后一个等式为：
$v_{\pi}(s) \doteq \sum_a\pi(a|s)\sum_{s\prime,r}{p(s\prime,r|s,a)[r+\gamma v_{\pi}(s\prime)]},\ \ \forall s\in {\mathcal{S}}\ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

其中 $a\in{\mathcal{A}}(s)$， $s\prime \in{\mathcal{S}}$，公式(3) 称作是 $v_{\pi}$ 的 $Bellman\ equation$，还有一个重要的概念是 $backup\ diagrams$，如下图的（a）所示，其中每个空心圆代表一个状态，每个实心圆代表一个 state-action 对，最初的状态即 root node 位于最上面，在每个状态 $s$ 下，agent 可以从多个 action 中选择，每对 $(s,a)$ 都会以一定的概率转化到状态 $s\prime$ 并伴随有回报值 $r$。

结合 $backup\ diagrams$，就可以更好的理解 $Bellman\ equation$，从公式（3）可以看出，它对所有的可能情况进行了平均，并且每个部分的权重为它发生的概率。这种图之所以称作是 $backup\ diagrams$，是因为它表达出了 RL 方法中 update 和 $backup$ 操作的基础，这些操作将 value 信息从下一个状态（或下一个 state-action 对） $back$ 到了当前的状态（或state-action 对）。

8 Optimal Value Functions

解决RL任务，就是找到一种 policy 来获得最大的长远 reward，对于有限的MDPs，可以精确地定义一种优化的规则，上面介绍的 value function 定义了 policies 之间的一种偏序关系，因此可以利用它来定义 $optimal\ policy$：

定义规则 $\pi$ 与 规则 $\pi\prime$ 相比更好或者相当是指，对所有的状态规则 $\pi$ 的期望 return 都比 规则 $\pi\prime$ 的大或者相等。即：
$\pi \geq \pi\prime \Leftrightarrow v_\pi(s) \geq v_\pi\prime (s)\ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}}$

则 $optimal\ policy$ 指的就是比其他所有 policies 都好或者相当的规则，用符号 $\pi_{\ast}$ 来表示。

同样地，也可以定义 $optimal\ state-value\ function$，用符号 $v_{\ast}$ 来表示，定义式为：
$v_{\ast} \doteq max_\pi{v_\pi(s)}\ \ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}}$

优化的 policies 也具有相同的 $optimal\ action-value\ function$，用 $q_{\ast}$ 来表示，定义式为：
$q_{\ast}(s,a) \doteq max_\pi{q_\pi(s,a)}\ \ \ \ \forall s\in{\mathcal{S}},\forall a\in{\mathcal{A}}(s)$

对于 state-action 对 $(s,a)$，该函数给出了在状态 $s$ 下执行 $a$ 的期望 return，因此可以将 $q_{\ast}$ 用 $v_{\ast}$ 来表示：
$q_{\ast}(s,a) \doteq {\Bbb E}[R_{t+1}+\gamma v_{\ast}(S_{t+1})|S_t=s,A_t=a]$

9 Optimality and Approximation

上一小节介绍了优化的 value function和优化的 policies，但在真实情况中，即使拥有了环境动态性完整的精确的模型，也很难简单地求解 Bellman优化方程计算出优化的 policy。并且，当状态和行为集合很大时，也会需要非常大的内存，因此可用的内存也是直接求解的一个限制因素。解决这个的问题的办法就是采用近似的求解方法。

参考文献
[1] Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto
[2] UCL Course on RL