1.1傅立叶图像
对一张图像使用傅立叶变换就是将它分解成正弦和余弦两部分。也就是将图像从空间域(spatial domain)转换到频域(frequency domain)。 这一转换的理论基础来自于以下事实：任一函数都可以表示成无数个正弦和余弦函数的和的形式。傅立叶变换就是一个用来将函数分解的工具。 2维图像的傅立叶变换可以用以下数学公式表达:
式中 f 是空间域(spatial domain)值， F 则是频域(frequencydomain)值。 转换之后的频域值是复数，因此，显示傅立叶变换之后的结果需要使用实数图像(real image) 加虚数图像(complex image), 或者幅度图像(magitude image)加相位图像(phase image)。 在实际的图像处理过程中，仅仅使用了幅度图像，因为幅度图像包含了原图像的几乎所有我们需要的几何信息。然而，如果你想通过修改幅度图像或者相位图像的方法来间接修改原空间图像，你需要使用逆傅立叶变换得到修改后的空间图像，这样你就必须同时保留幅度图像和相位图像了。
在此示例中，我将展示如何计算以及显示傅立叶变换后的幅度图像。由于数字图像的离散性，像素值的取值范围也是有限的。比如在一张灰度图像中，像素灰度值一般在0到255之间。 因此，我们这里讨论的也仅仅是离散傅立叶变换(DFT)。 如果你需要得到图像中的几何结构信息，那你就要用到它了。请参考以下步骤(假设输入图像为单通道的灰度图像 I)
1.2函数
(1)int getOptimalDFTSize(int vecsize)
该函数是为了获得进行DFT计算的最佳尺寸。因为在进行DFT时，如果需要被计算的数字序列长度vecsize为2的n次幂的话，那么其运行速度是非常快的。如果不是2的n次幂，但能够分解成2,3,5的乘积，则运算速度也非常快。这里的getOptimalDFTSize()函数就是为了获得满足分解成2,3,5的最小整数尺寸。很显然，如果是多维矩阵需要进行DFT，则每一维单独用这个函数获得最佳DFT尺寸。
(2)void copyMakeBorder(InuptArray src, OutputArray dst, int top ,int bottom, int left, int right, int borderType, const Scalar&value=Scalar())
该函数是用来扩展一个图像的边界的，第3～6个参数分别为原始图像的上下左右各扩展的像素点的个数，第7个参数表示边界的类型，如果其为BORDER_CONSTANT，则扩充的边界像素值则用第8个参数来初始化。将src图像扩充边界后的结果保存在dst图像中。
(3)merge()函数是把多个但通道数组连接成1个多通道数组，而split()函数则相反，把1个多通道函数分解成多个但通道函数。
(4)void magnitude(InputArray x, InputArray y, OutPutArray magnitude)
该函数是计算输入矩阵x和y对应该的每个像素平方求和后开根号保存在输出矩阵magnitude中。
(5)函数log(InputArraysrc, OutputArray dst)是对输入矩阵src中每个像素点求log，保存在输出矩阵dst的相对应的位置上。
1.3过程描述
将图像延扩到最佳尺寸。离散傅立叶变换的运行速度与图片的尺寸息息相关。当图像的尺寸是2， 3，5的整数倍时，计算速度最快。因此，为了达到快速计算的目的，经常通过添凑新的边缘像素的方法获取最佳图像尺寸。函数 getOptimalDFTSize() 返回最佳尺寸，而函数copyMakeBorder() 填充边缘像素:
Mat padded; //将输入图像延扩到最佳的尺寸
int m = getOptimalDFTSize( I.rows );
int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // 在边缘添加0
copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));添加的像素初始化为0.
为傅立叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间。傅立叶变换的结果是复数，这就是说对于每个原图像值，结果是两个图像值。此外，频域值范围远远超过空间值范围，因此至少要将频域储存在 float 格式中。结果我们将输入图像转换成浮点类型，并多加一个额外通道来储存复数部分：
Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)};
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI); // 为延扩后的图像增添一个初始化为0的通道进行离散傅立叶变换。支持图像原地计算 (输入输出为同一图像):
dft(complexI, complexI); // 变换结果很好的保存在原始矩阵中将复数转换为幅度.复数包含实数部分(Re)和复数部分 (imaginary - Im)。 离散傅立叶变换的结果是复数，对应的幅度可以表示为:
转化为OpenCV代码:
split(complexI,planes); // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] =magnitude
Mat magI = planes[0];对数尺度(logarithmicscale)缩放. 傅立叶变换的幅度值范围大到不适合在屏幕上显示。高值在屏幕上显示为白点，而低值为黑点，高低值的变化无法有效分辨。为了在屏幕上凸显出高低变化的连续性，我们可以用对数尺度来替换线性尺度:
转化为OpenCV代码:
magI += Scalar::all(1); // 转换到对数尺度
log(magI, magI);剪切和重分布幅度图象限. 还记得我们在第一步时延扩了图像吗? 那现在是时候将新添加的像素剔除了。为了方便显示，我们也可以重新分布幅度图象限位置(注：将第五步得到的幅度图从中间划开得到四张1/4子图像，将每张子图像看成幅度图的一个象限，重新分布即将四个角点重叠到图片中心)。 这样的话原点(0,0)就位移到图像中心。
int cx = magI.cols/2;
int cy = magI.rows/2;
Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy)); // Top-Left - 为每一个象限创建ROI
Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy)); // Top-Right
Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy)); // Bottom-Left
Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); //Bottom-Right
Mat tmp; // 交换象限 (Top-Left with Bottom-Right)
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
q1.copyTo(tmp); // 交换象限 (Top-Right with Bottom-Left)
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2)7.归一化. 这一步的目的仍然是为了显示。 现在我们有了重分布后的幅度图，但是幅度值仍然超过可显示范围[0,1] 。我们使用 normalize()函数将幅度归一化到可显示范围。
normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX); // 将float类型的矩阵转换到可显示图像范围
// (float [0， 1]).1.4完整程序
#include "opencv2/core/core.hpp"
#include "opencv2/imgproc/imgproc.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace cv;
using namespace std;
int main(int argc, char ** argv)
{
//以灰度图像模式读入原始图像
const char* filename ="4.jpg";
Mat I = imread(filename, CV_LOAD_IMAGE_GRAYSCALE);
if( I.empty())
return -1;
//将图像扩展到最佳尺寸,边界用0补充
Mat padded; //expand input image to optimal size
//将添加的像素初始化为0
int m = getOptimalDFTSize( I.rows );//计算最佳扩充尺寸
int n = getOptimalDFTSize( I.cols ); // on the border add zero values
copyMakeBorder(I, padded, 0, m - I.rows, 0, n - I.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0)); //扩充图像
//为傅里叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间
//将planes数组组合合并成一个多通道的数组complexI
Mat planes[] = {Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F)}; //添加维度，用于存储傅立叶变换的结果
Mat complexI;
merge(planes, 2, complexI); // Add to the expanded another plane with zeros //合并通道
//进行傅里叶变换
dft(complexI, complexI); // this way the result may fit in the source matrix //离散傅立叶变换
//将复数转换为幅值，即=> log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
// compute the magnitude and switch to logarithmic scale
// => log(1 + sqrt(Re(DFT(I))^2 + Im(DFT(I))^2))
split(complexI, planes); // planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I)) //将存储在complexI的结果分解到planes[0],planes[1]中 // 将多通道数组complexI分离成几个单通道数组，planes[0] = Re(DFT(I), planes[1] = Im(DFT(I))
magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);// planes[0] = magnitude //计算复制
Mat magI = planes[0];
//进行对数尺度缩放
magI += Scalar::all(1); // switch to logarithmic scale //用对数表示
log(magI, magI); //求自然对数
//剪切和充分不幅度图象限
//若有奇数行或者奇数列，进行频谱裁剪
// crop the spectrum, if it has an odd number of rows or columns
//按位与，x & -2大概意思就是取不大于x 的最大偶数
magI = magI(Rect(0, 0, magI.cols & -2, magI.rows & -2));
//重新排列傅里叶图像中的象限，使得原点位于图像的中心
// rearrange the quadrants of Fourier image so that the origin is at the image center
int cx = magI.cols/2;
int cy = magI.rows/2;
Mat q0(magI, Rect(0, 0, cx, cy)); // Top-Left - Create a ROI per quadrant
Mat q1(magI, Rect(cx, 0, cx, cy)); // Top-Right
Mat q2(magI, Rect(0, cy, cx, cy)); // Bottom-Left
Mat q3(magI, Rect(cx, cy, cx, cy)); // Bottom-Right
//交换象限(左上与右下)
Mat tmp; // swap quadrants (Top-Left with Bottom-Right)
q0.copyTo(tmp);
q3.copyTo(q0);
tmp.copyTo(q3);
//交换象限(右上与左下）
q1.copyTo(tmp); // swap quadrant (Top-Right with Bottom-Left)
q2.copyTo(q1);
tmp.copyTo(q2);
//归一化
normalize(magI, magI, 0, 1, CV_MINMAX); // Transform the matrix with float values into a
// viewable image form (float between values 0 and 1).
Mat invDFT,invDFTcvt;
idft(complexI, invDFT, DFT_SCALE | DFT_REAL_OUTPUT );//离散傅立叶逆变换
invDFT.convertTo(invDFTcvt, CV_8U);
imshow("invDFTcvt", invDFTcvt);
imshow("Input Image" , I ); // Show the result
imshow("spectrum magnitude", magI);
waitKey();
return 0;
}