【 MATLAB 】离散傅里叶变换（DFT）以及逆变换（IDFT）的MATLAB实现

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刚刚写过一篇用MATLAB实现离散傅里叶级数的博文，如下：

【 MATLAB 】离散傅里叶级数（DFS）及 IDFS 的 MATLAB 实现

离散傅里叶变换不是一种神奇的东西，它和离散傅里叶级数关系很紧密，紧密到使用MATLAB编写离散傅里叶变换以及逆变换的函数一模一样，只需改个名字即可。

因为离散傅里叶级数是一个周期的信号，我们编写DFS以及IDFS函数时候，也通常只能考虑一个周期的时域信号以及频域信号，尽管我们心里都明白它是一个周期的信号。

那离散傅里叶变换DFT就是对一个时域非周期的信号x（n）作变换，这个非周期的信号x(n)经过周期延拓就可以得到一个周期信号xtilde(n)，同样，离散傅里叶级数系数是一个频域的周期信号，离散傅里叶变换只是取其一个主值周期而已。

下面详细阐述。

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定义一个周期信号，它的主值区间就是一个有限长信号，然后对这个周期信号应用DFS。实际上可以定义一个新的变换称为离散傅里叶变换（DFT），它就是这个DFS的主值周期。这个DFT就是任意有限长序列的最终数值可计算的傅里叶变换。

首先定义一个有限长序列x(n)，它在上有N个样本，作为一个N点序列。令是用这个n点序列x(n)创建的一个周期为N的周期信号，即：

令离散傅里叶级数系数：

它是一个周期序列（因此也是无限长序列），那么它的主值区间就是离散傅里叶变换，它是有限长的。这些概念清楚表明在下面的定义中：

这样的话：

其中：

一个N点的DFT X(k) 的逆离散傅里叶变换给出为：

或者：

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理论知识说明完了，现在就用MATLAB语言来实现DFT以及IDFT。

同样使用向量化编程，具体的推导见一开始推荐的那篇博文，里面由我的推导，这里将DFS以及IDFS函数直接改个名字给出DFT以及IDFT的函数：

dft.m

function [Xk] = dft(xn,N)
% Computes Discrete Fourier Transform
%______________________________________________
% [Xk] = dft(xn,N)
% Xk = DFT coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn = N-point finite - duration sequence 0 <= n <= N - 1
% N = Length of DFT

n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = n'*k;
WNnk = WN .^ nk;   %DFT matrix
Xk = xn * WNnk;

idft.m

function [xn] = idft(Xk,N)
% Computes Inverse Discrete Fourier Transform
%______________________________________________
% [xn] = idft(Xk,N)
% Xk = DFT coefficients array over 0 <= k <= N - 1
% xn =  N-point sequence over 0 <= n <= N - 1
% N = Length of DFT

n = [0:1:N-1]; % row vector for n
k = [0:1:N-1]; % row vector for k
WN = exp(-j*2*pi/N);
nk = k' * n;
WNnk = WN .^(- nk);   %IDFT matrix
xn = (Xk*WNnk)/N;

具体的案例分析见下篇博文。

欢迎查看我的数字信号处理的MATLAB实现专栏：数字信号处理的MATLAB实现