离散信号（七）| 离散傅里叶变换（DFT）推导

离散傅里叶变换（DFT）

离散信号的傅里叶变换DTFT，它是 $\Omega$的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在实际中往往难于计算，尤其在数字计算机上实现有困难。为此我们需要一种时域和频域都离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transformation），简称DFT。DFT的导出有多种方法，比较方便同时物理意义也比较明确的是从离散傅里叶级数（DFS）着手。由于时域和频域都是离散的，因而这种傅里叶变换对有其特殊性质，这些性质使DFT在实际应用中有时会产生误解。DFT有快速计算方法，即快速傅里叶变换（FFT）。

从离散傅里叶级数（DFS）到离散傅里叶变换（DFT）

考虑有限长序列 $x(n)(0\leq n\leq N-1)$，将其按周期N进行延拓，得到周期序列
$x_p(n)=\sum_{r}x(n+rN) \quad (r为任意整数)$
我们把 $x(n)$称为主值序列，它也是周期序列 $x_p(n)$的主值区间序列。由于 $x_p(n)$是周期为N的周期序列，可以展开成离散傅里叶级数DFS
$X_p(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x_p(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1$
$X_p(k\Omega_0)$是周期为N的，离散的，它的反变换为
$x_p(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X_p(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n}$
虽然它也是离散的、周期为N的序列。由于 $X_p(k\Omega_0)$的周期性，我们也可以取它的一个周期为主值区间 $(0\leq k\leq N-1)$，主值区间的 $X_p(k\Omega_0)$记为 $X(k\Omega_0)$。当 $x_p(n)$和 $X_p(k\Omega_0)$都取主值区间序列时，显然有
$X(k\Omega_0)=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{8}$
和
$x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}X(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{9}$
同DTFT一样，非周期序列的傅里叶变换是信号的频谱密度，所以将式（8）乘以N，同时考虑到离散的频谱可用序列来表示，所以定义长度为N的有限长序列 $x(n)$的离散傅里叶变换（DFT） $X(k)$为
$X(k)=NX(k\Omega_0)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-jk\Omega_0 n} \quad k=0,1,2,\cdots, N-1 \tag{10}$
并由式（9）和式（10），可得 $X(k)$的DFT反变换
$x(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}NX(k\Omega_0)e^{jk\Omega_0 n}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(k)e^{jk\Omega_0 n} \quad n=0,1,2,\cdots,N-1 \tag{11}$
同样，把满足式（10）和式（11）的 $x(n)$和 $X(k)$称为离散傅里叶变换（DFT）对，简记为
$x(n)\overset{DFT}{\leftrightarrow}X(k)$
只要从DFS变换对截取序列的主值，就构成了DFT变换对。但是它们在本质意义上还是有区别的，DFS是按傅里叶分析严格定义的，而DFT是一种”借用“的形式，因为我们知道，有限长序列 $x(n)$是非周期性的，故它的傅里叶变换是连续的、周期性的，现在，我们人为地把 $x(n)$按周期延拓成离散的、周期性的序列 $x_p(n)$，得到离散的、周期性的频率函数 $X_p(k\Omega_0)$，然后利用 $x(n)$是 $x_p(n)$的主值序列，借用取主值的方法，得出DFT的定义，这样处理的结果相当于把原来 $x(n)$的连续的、周期性的频谱离散化了。事实上，我们完全可以从非周期性序列的傅里叶变换DTFT出发，按采样间隔 $\Omega_0=\frac{2\pi}{N}$实现原连续频域函数 $X(\Omega)$离散化，来得到离散傅里叶变换DFT。