十二、线性变换及矩阵向量积

1. 线性变换的定义

线性代数讲的是向量的加减乘除，向量的变换等；向量变换中，有一种特殊的变换，叫做线性变换，那么，什么是线性变换呢？

假设：

$T:R^n \mapsto R^m$

如果：

$\vec{a}, \vec{b} \in \mathbb{R}^n$

$T(\vec{a} + \vec{b}) = T(\vec{a}) + T(\vec{b})$

$T(c \vec{a}) = cT(\vec{a})$

那么，向量变换T就是线性变换

2. 线性变换举例

假设：

$T:R^2 \mapsto R^2$

$T(x_1, x_2) = (x_1 + x_2, 3x_1)$

$T(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2\\ 3x_1 \end{bmatrix}$

计算向量变换T是否是线性变换，假设：

$\vec{a} = \begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}, \vec{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \end{bmatrix}$

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1\\ a_2 + b_2 \end{bmatrix}$

1. 计算条件一是否满足

$T(\vec{a} + \vec{b}) = T(\begin{bmatrix} a_1 + b_1\\ a_2 + b_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} a_1 + a_2 + b_1 + b_2\\ 3a_1 + 3a_2 \end{bmatrix}$

$\begin{align*} T(\vec{a}) + T(\vec{b}) &= T(\begin{bmatrix} a_1\\ a_2 \end{bmatrix}) + T(\begin{bmatrix} b_1\\ b_2 \end{bmatrix}) \\ &= \begin{bmatrix} a_1 + a_2\\ 3a_1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 + b_2\\ 3b_1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_1 + a_2 + b_1 + b_2\\ 3a_1 + 3b_1 \end{bmatrix} \end{align*}$

$T(\vec{a} + \vec{b}) = T(\vec{a}) + T(\vec{b})$

2. 计算条件二是否满足

$T(c\vec{a}) = T(\begin{bmatrix} ca_1\\ ca_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} ca_1 + ca_2\\ 3ca_1 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} a_1 + a_2\\ 3a_1 \end{bmatrix} = cT(\vec{a})$

两个条件都满足，因此向量变换T是线性变换

如果向量变换只涉及到不同分量的线性组合，那么该向量变换很可能就是线性变换

线性代数分为：线性组合 linear combinations、线性变换 linear transformation

3. 单位矩阵

假设：

$\underset{n \ast n}{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

矩阵I就是n * n的单位矩阵

单位矩阵一个非常好的性质：单位矩阵乘以任何向量，结果还是原向量

$I_n \vec{x} = \vec{x}, \vec{x} \in \mathbb{R}^n$

标准基：单位矩阵的列向量集合

$\left \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n} \right \}$

称为 $R^n$ 的标准基

4. 线性变换与矩阵向量积之间的关系

矩阵向量积，满足线性变换的两个条件，因此矩阵向量积是线性变换。任何线性变换，都可以被重新描述为矩阵与向量的乘积，为什么要用矩阵向量积表示线性变换？因为特别简洁。那么如何才能将一个线性变换表示成矩阵与向量的积？

5. 线性变换重写为矩阵向量积

任意向量都可以写成标准基的线性组合：

$\vec{x} = x_1 \vec{e}_1 + x_2 \vec{e}_2 + \cdots + x_n \vec{e}_n$

根据线性变换的定义：

$\begin{align*} T(\vec{x}) &= T(x_1 \vec{e_1} + x_2 \vec{e_2} + \cdots + x_n \vec{e_n})\\ &= T(x_1 \vec{e_1}) + T(x_2 \vec{e_2}) + \cdots + T(x_n \vec{e_n}) \\ &= x_1 T(\vec{e_1}) + x_2 T(\vec{e_2}) + \cdots + x_n T(\vec{e_n}) \\ &= \begin{bmatrix} T(\vec{e_1}) & T(\vec{e_2}) & \cdots & T(\vec{e_n}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} T(\vec{e_1}) & T(\vec{e_2}) & \cdots & T(\vec{e_n}) \end{bmatrix} \vec{x} \end{align*}$

$T(\vec{x}) = \mathbf{A} \vec{x}$

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} T(\vec{e_1}) & T(\vec{e_2}) & \cdots & T(\vec{e_n}) \end{bmatrix}$

此时，线性变换就重写成了矩阵与向量的积：

1. 对标准基的每一个列向量执行相同的线性变换，从而构造需要的矩阵。

2. 用构造出的矩阵乘以向量，就将原线性变换重写成了矩阵向量积

6. 举例

假设：

$T: R^2 \mapsto R^3$

$T(x_1, x_2) = (x_1 + 3x_2, 5x_2 - x_1, 4x_1 + x_2)$

$T(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}) = \begin{bmatrix} x_1 + 3x_2 \\ 5x_2 - x_1 \\ 4x_1 + x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 3x_2 \\ - x_1 + 5x_2 \\ 4x_1 + x_2 \end{bmatrix}$

因此：

$\begin{align*} T(\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}) &= \begin{bmatrix} T(\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}) & T(\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 3\\ -1 & 5\\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \end{align*}$

重写完毕