线性代数——矩阵的初等变换

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矩阵的初等变换

矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换
初等变换矩阵与矩阵之间用箭头连接，不能用等号

初等行变换

• 交换两行
• 用k(k≠0)乘以某一行
• 某一行的1倍加到某一行上去

定理1
任何矩阵都可通过初等变换化为标准形(行变换和列变换都可以)

等价:A经初等变换得到B，叫做A等价于B，记作

等价的性质

初等方阵

初等方阵:对单位阵E做一个初等变换得到的矩阵就是初等方阵 。

1. 初等方阵均可逆
2. 其逆矩阵也是初等方阵。
3. 初等方阵的转置也是初等方阵。

初等方阵:

1. 交换第i,j行，记作E(i,j)，行列式等于-1，逆矩阵为E(i,j)
2. 用k(k≠0)乘某行，记作E(i(k)),k≠0，行列式等于k，逆矩阵为E(i(1/k))
3. 将第j行的l倍，加到第i行，记作E(i,j(k))，行列式等于1，逆矩阵为E(i,j(-l))

定理2:设A是任意矩阵，用第i种初等方阵左(右)乘A，相当与对A实施第i中行(列)变换。

定理3:任意矩阵A都存在初等方阵p1,p1···ps,Q1,Q2,···,Qt，使得ps,···,p1AQ1,···,Qt为A的标准形。
推论:如果A,B等价，则存在可逆矩阵p、Q，使得PAQ=B

定理4:A可逆的充分必要条件是A的标准形为E。
定理5:A可逆的充要条件是A可以表示成一些初等方阵的乘积。

初等行变换法求逆矩阵

注意事项:

1. 先第一列，在第二列···，以此类推
2. 写整行，对整行操作
3. 第一列处理后，第一行不在主动变换
4. 做变换时矩阵与矩阵用箭头连接
5. 只做初等行变换
6. 不管是否可逆，如果左边化不成单位阵，那么该矩阵不可逆。

矩阵的秩

一个矩阵，任取k行k列所组成的k阶行列式就是k阶子式
矩阵的秩: 一个矩阵A的非零子式的最高阶数k就是矩阵的秩，表示为r(A)=k

对于一个矩阵Am×n，0 ≤ r(A) ≤ min{m,n}

r(A)=m，取所有的行，称之为行满秩
r(A)=n，取所有的列，称之为列满秩
如果是行满秩或者列满秩，我们统称为满秩

如果r(A)<min{m,n}，那么就称之为降秩

如果A是方阵，A满秩的充分必要条件是A可逆

定理1: r(A)=r的充要条件是有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式全为0

阶梯形:

1. 若有零行，零行在非零行的下边
2. 自上而下，左起第一个非零元素称为首非零元，首非零元左边零的个数随行数增加而严格增加

行简化阶梯形*

1. 阶梯形
2. 非零行的首非零元是1
3. 首非零元所在的列的其余元素是0

如何判断是否为行简化阶梯形

1. 画折线(判断是否为阶梯形)
2. 判断非零行的首非零元是否为1
3. 判断非零行的首非零元所在的行的 其他元素是否为0

一般地，阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数

初等变换不改变矩阵的秩

例：

秩的性质

性质1:
性质2: 任意矩阵乘以可逆矩阵，他的秩不变
性质3: 矩阵A为m×n的方阵，P为m阶可逆方阵，Q为n阶可逆方阵，r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)