系统深入地研究定义域与值域都是线形空间的子集的函数是数学分析的基本目标之一，我们称这样的函数为变换，映射或算子。
设W，V为两个集合，我们用记号：T: V -> W 表示T是一个定义域为V且值域在W中的函数。对V中任意x，我们称W中的元素T(x) 为x在T作用下的象（image），并说T将x映射为T(x)。定义域V的象T(x)称为T的值域（range）。
零化空间*值域
集合T（V）是W的子空间，而且T将V中的零元素映射为W中的零元素。、
零化空间记为：N(T)
零化度*秩
dim：线性无关向量的个数
称零化空间N(T)的维数为T的零化度，称值域T(V)的维数为T的秩。
零化度加秩定义：若V的维数有限，那么T的维数也有限，而且我们有：
dim N(T) +dim T(V) = dim V
也就是说零化度加秩等于定义域的维数。
逆
对初等函数的研究中，我们证明了可通过对单调函数求反函数来构造新函数。我们将其延伸到线性变换领域：给定函数T，我们的目的是在可能的情况下找到另一个函数S，使得它与T的复合为恒等变换。即 ST= I
基元素的象为指定值的线性变换
前言：
如果V是有限维空间，那么线性变化T : V -> V 由它在V的基元素上的作用完全确定。
线性变换的矩阵表示
矩阵是作为线性变换的表示而自然引入。
矩阵组成的线性空间
矩阵是作为线性变换的表示而自然引入，矩阵本身也有不依赖于线形变换而独立存在的理由。此时，它们组成一类新的可以定义代数运算的数学对象。与线形变换的关系使我们引入矩阵的动机，但是我们暂时不考虑这种关系。
线性变换与矩阵之间的同构
来考虑矩阵和线性变换之间的关系，令V和W为有限维线性空间且dim V=n，dimW = m，选定V的基（v1，…，vn）和W 的基（w1，…wm）。
将每一个基元素的象T（vk）表示为W中基元素的线性组合。
T(vk) = sum（tikwt）k= 1,2，3…n
则tik就是m（T）的ik元，因此我们有
m（T） = （tik）
上面定义了一个新的函数m，它的定义域为L(V,W)，它的值都是Mm,n中的矩阵。由于对每个mn矩阵，都存在L(V,W)中的T使它等于m（T），所以m的值域为Mm,n.变换m；L（V,W） -》 Mm,n是定义在L(V,W)上的一一线形变换。
结论；什么是同构
函数m称为一个同构，对给定的一组基，m建立了所有的线性变换组合L(V，W)与所有的mn矩阵组成的集合的一一对应关系，加法和纯量乘法在这个对应关系下保持不变，我们称线形空间L(V,W)和Mm,n同构（isomorphic）。因为线性变换的定义域和值域的维数相同，因此dim L(V,W) = dim Mm,n = mn
如果V=W且我们为V和W选的基相同，那么恒等变换I:V->V对应的矩阵m（I）是一个nn的对角矩阵，其主线上的元都为1，其余元都为0.我们称这样的矩阵为恒等矩阵或单位矩阵记为In。