这是最后一篇ICG博弈，尼姆博弈，对比前面的巴什博弈和威佐夫博弈，尼姆博弈的玩法更加自由化，因此想赢的过程也更加复杂。
如果没有了解过巴什博弈和威佐夫博弈的，建议先看上两篇 ：巴什博弈及证明 威佐夫博弈及证明
尼姆博弈（Nimm Game）
目前有任意堆石子，每堆石子个数也是任意的，双方轮流从中取出石子，规则如下：
①每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；
②如果谁取到最后一枚石子就胜。
设（a,b,c,d…）为每堆石子的个数（石子个数>=0），甲乙两人游戏，且甲先行。
一样的思路，找出必败态，这里用递增穷举的方法：
剩下1堆石子，明显（0）是一个必败态,（k）是一个必胜态。
剩下2堆石子，根据游戏规则可知，（1,1）是一个失败态，（1,2）是一个必胜态，（2,2）是一个失败态，……发现（k,k）是一个必败态，无论你怎么取，对手只要从数量较多的一堆取走和你取走一样的数量，则又回到了（k‘,k’）状态，这样一直下去，总会变成（1,1）直到（0,0），（k,k+m）是一个必胜态。
剩下3堆石子，根据前面的结论，我们知道 （1,1,k）、（1,k,k）和（k,k,k）都是必胜态【都可以留下（k,k）必败态给对手】，接下来对于任一个（a,b,c）都可以转化为（k+m,k+n.k+p），而对于m\n\p，有3种情况，分别是①三者相等，就是（k’,k’,k’），为必胜态。②两者相等，假设为（k+m,k+p.k+p），这样把k+m取完，留下必败态给对手，也是必胜态。③三者不等，这种情况非常复杂，用简单的公式难以表达，我们可以观察到（1,2,3）是必败态，但是（1,2,4）是必胜态，两者只是相差一个石子，因此这里先搁一搁。
……
经过一些简单的穷举，尽管难以发现递归式或者通项公式，但是我们还是能感觉到一点非常重要的因素：一个状态是必胜态还是必败态，与剩下的石子堆之间是否相等有很大的关系。上面3种穷举的结果如下：
必败态：（0）、（k,k）
必胜态：（k）、（k,k+m）、（k,k,k）、（m,k,k）
小白猜想不了这种规律的表达，但是被别人与计算机二进制的异或运算联系了起来（这个人是谁，小白也不知道），对于异或运算⊕，也是和运算对象是否相等有关，小白的记忆方法是 异1同0，也就是对于二进制：
| A | B | A⊕B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0⊕0 = 0 （同0） |
| 0 | 1 | 0⊕1 = 1 （异1） |
| 1 | 0 | 1⊕0 = 1 （异1） |
| 1 | 1 | 1⊕1 = 0 （同0） |
两个相异的数异或⊕就是1，两个相同的数异或⊕就是0。
使用异或运算，可以根据当前局面判断全局输赢，判断过程是：对于当前局面（a1，a2，a3……an），如果a1⊕a2⊕a3⊕……⊕an = 0，那么当前局面就是必败态，否则是必胜态。
我们先代入穷举出来的结果：
（0）、（k,k）：异1同0，确实k⊕k = 0，为必败态。
（k）、（k,k+m）、（k,k,k）、（m,k,k）：异1同0，确实k⊕（k+m） ≠ 0，k⊕k⊕k ≠ 0，m⊕k⊕k ≠ 0，为必胜态
证明
命题：尼姆博弈，如果当前局面（a1，a2……an）中，a1⊕a2⊕……⊕an = 0，那么当前局面是必败态。
证明：明显当a1=a2=……=an = 0的时候成立，（0）为必败态。当（a1，a2……an）不全等于0的时候，有2种情况：
① k = a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an ≠ 0，此时k的二进制最高位为1，则一定存在am它的最高位也为1，因为异或运算保证了当运算结果为1的时候，某一方一定是1，于是ap = am ⊕ k < am【异1同0，两个最高位的1异或得到0】，此时把am替换为ap，（a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕…⊕an） => （a1⊕a2⊕…⊕ ap ⊕…⊕an） = （a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕ k ⊕…⊕an）=（a1⊕a2⊕…⊕ am ⊕…⊕an⊕ k） = k ⊕ k = 0，这个过程证明了 当 a1⊕a2⊕……⊕an ≠ 0的时候，存在有效的取法ap = am ⊕ k使得取后的 结果a1⊕a2⊕……⊕an = 0。
② k = a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0，根据游戏规则，必须从am中至少取走1个成为ap < am，可以用反证法得到a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an ≠ 0，假设a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an = 0，那么（a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an） = （a1⊕a2⊕…⊕ap⊕…⊕an） = 0，两边依次同时异或aj（j从1递增到n，j ≠m,p），就可以得到ap = am，与前提ap < am矛盾，假设不成立，这个过程证明了 当a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0的时候，不存在有效的取法让取后的结果a1⊕a2⊕…⊕am⊕…⊕an = 0。
综上所述，当a1⊕a2⊕……⊕an ≠ 0的时候，存在有效的取法，令到a1⊕a2⊕……⊕an = 0，而a1⊕a2⊕……⊕an = 0不存在有效的取法使得a1⊕a2⊕……⊕an = 0【也就必胜态有办法让下一步为必败态，必败态下一步一定为必胜态】，随着局面的变化，a1⊕a2⊕……⊕an = 0最终会变成（0,0,0……0）也就是（0）必败态，所以如果当前局面（a1，a2……an）中，a1⊕a2⊕……⊕an = 0，那么当前局面是必败态。
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这是最后一篇，尼姆博弈
